走進歷史 理解對數

趙浩浩 薛紅霞 薛翠萍

摘? 要：數學文化課要優化史料的選擇，面對浩瀚復雜的文獻，教師要根據教學目標合理取舍，針對“對數的起源與應用”一課的教學主題，要做到預設資料目標，體現對數優越性;整合史料，追加對數練習;凸顯目標，刪繁就簡. 之后整合史料，設計了三個核心問題引導學生學習，包括對數思想的萌芽、對數的完善和對數的影響. 在實踐過程中，師生都要做到角色矯正、真實“穿越”.

關鍵詞：對數起源;數學文化;文獻閱讀

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求，要將數學文化融入高中數學課程內容之中. 對此，人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）除了在各章節教學內容中融入了數學文化，還增設了數學文化的拓展欄目. 如何用好這些素材開展數學文化的教學？關于數學文化的教學定位又是怎樣的？這都需要教師的實踐探索.

一、設計：優化史料，凸顯目標

1. 依據要求，進行選題

（1）高考評價體系的要求.

在《中國高考評價體系》“一核、四層、四翼”的要求下，數學核心素養可以凝練為理性思考、數學應用、數學探索和數學文化. 其中，數學應用要求學生了解數學發展對國家經濟社會發展、科學技術進步、生產生活實際的推動作用，并能運用數學能力和數學素養發現問題，能利用數學知識解決問題;數學文化要求學生了解中外數學發展歷史中的數學成就，感受數學對歷史進程的推進作用，明確學習數學的重要意義，發展數學思維，涵養數學哲學思想，尤其是認識中國古代燦爛的數學成就，增強民族自豪感.

（2）課程標準的要求.

《標準》在提及數學文化時，肯定了數學文化在數學教育中的重要作用，如促進數學理解，改變學生的數學觀，培養學生處理現實問題的思維. 同時，針對大眾對數學史、數學和人文藝術所反映的人文價值重視程度不足的問題，要求加強全民對數學人文價值的認識.

設計“對數的起源與應用”一課的目的，就是要引導學生在形式和內容上了解對數發展的歷史演進過程，體會對數對大數乘除運算的簡化作用，感受對數發展的歷史脈絡;借助對數發展過程中的研究結果，進行一些簡單的運算，幫助學生認識數學學科的發展對其他學科的影響，尤其對天文學的幫助，體會數學應用的廣泛性.

（3）教材中相關內容的啟示.

教材必修第一冊中安排了一節閱讀與思考——對數的發明. 對數的發展歷程是數學發展史上一個令人驚奇的篇章，研究對數的發展歷程不僅有利于學生更加深刻地認識對數及其運算，而且能夠促進學生體會數學家在數學運算上對美的追求.

2. 設定目標，篩選史料

（1）預設史料目標，體現對數優越性.

為了體現對數在大數乘除上的優越性，展示對數對天文學進程的推動作用. 在搜集史料時，不僅要關注對數的發展時間線和關鍵節點，還要注意天文學在相同時間線中的發展進程. 因此，史料要從數學和天文學兩個方向搜集.

（2）整合史料，追加對數練習.

第一次整合史料時，先將對數發現的時間線與天文學發展的時間線合并，發現開普勒在探究開普勒第二定律和開普勒第三定律時，與瑞典鐘表匠比爾吉交往甚密，并用到了比爾吉的對數計算表，大幅度提高了發表開普勒定律的速度，可見對數計算對天文學發展的幫助. 另外，統計了在對數提出之前，天文學提出重要天文結論之間的時間間隔. 兩相對比，可以幫助學生更好地感受對數的魅力.

資料合并之后，為了體現對數計算的優越性，在設計學案時，引入了一些與對數有關的高考試題，目的是體現高考的導向. 但是，這些試題與對數的發展其實毫不相干，因此在后期進行了修改.

（3）凸顯目標，刪繁就簡.

為了將對數的發展歷程更好地呈現給學生，讓學生更加深入地了解對數，體會對數對天文學的幫助，凸顯數學文化在本節課中的重要地位. 首先，將史料分成三個部分，分別是對數思想萌芽、對數完善和對數影響. 其次，去除之前引入的高考試題，并在對數發展的每個小節中設計與閱讀材料有關的問題，通過這些問題，加深學生對本節閱讀材料的認識.

3. 確定教學方向，選編練習題

為了加深學生對閱讀材料的認識，需要設計一些簡單的練習.

在最初的教學設計中，安排了如下高考試題.

例 （2020年全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數. 基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間. 在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：[It=ert]描述累計感染病例數[It]隨時間t（單位：天）的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 = 1 + rT. 有學者基于已有數據估計出R0 = 3.28，T = 6. 據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為（? ? ）.（ln 2 ≈ 0.69.）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

雖然上述高考試題具有一定的代表性，也確實使用到了對數計算，但是與本節課的閱讀材料完全割裂開來，因此安排在這節課中并不適宜.

本節課是要學生了解數學發展史，于是相應的練習也就要服務于數學史的落實. 因此，根據閱讀材料內容的不同，設計了三個層次的練習題.

練習1針對對數思想的萌芽，設計了簡單的數的乘除，目的是幫助學生理解閱讀材料中數的乘除與加減法之間的對應關系.

練習2針對對數的完善，設計了使用對數表計算大數的乘除，目的是讓學生體會對數發展過程中數學家對簡化計算的不斷追求，感受數學美.

練習3針對對數對天文學的巨大推動作用，設計了用對數計算解決天文問題的情境題.

閱讀材料的對應練習題不僅要緊扣閱讀材料的內容，更要對學生理解閱讀材料有所幫助. 練習的目的不能只是服務于考試，更多的是要服務于數學史思想的落實.

二、實踐：角色矯正，真實“穿越”

核心問題1：思考阿基米德和史蒂非在計算大數的乘除法時所用到的表格是如何建立和使用的. 學生自主閱讀材料1，并解決該問題.

材料1：（對數思想的萌芽）對數的基本思想可以追溯到古希臘時代. 早在公元前500年，阿基米德就研究過幾個10的連乘積與10的個數之間的關系，用現在的表達形式來說，就是研究了如表1所示的兩個數列.

阿基米德發現了它們之間有某種對應關系. 利用這種對應可以用第二個數列的加減關系來代替第一個數列的乘除關系. 阿基米德雖然發現了這一規律，但他卻沒有把這項工作繼續下去，使對數失去了破土而出的機會.

2 000年后，一位德國數學家對對數的產生做出了實質性的貢獻，他就是史蒂非. 1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的發現，并給出了如表2所示的兩個數列.

史蒂非發現，第一行數的加、減運算結果與第二行數的乘、除運算結果之間有一種對應關系. 例如，第一行數中的2，5之和為7，第二行對應的兩個數4，32之積為128，恰好為2的7次方. 實際上，用現在的說法，即第二行的數以2為底的對數就是第一行與之對應的數. 史蒂非還發現，第一行數的乘法、除法運算，可以轉化為第二行數的加法、減法運算.

就在史蒂非悉心研究這一發現的時候，他遇到了困難. 由于當時的指數概念尚未完善，無法確定諸如[2x=17，2x=63]等式子中[x]的值，進而對17 × 63，1 025 ÷ 33等式子的求解也會感到束手無策了. 在這種情況下，史蒂非無法繼續深入研究下去，只好停止了這一工作. 但他的發現為對數的產生奠定了基礎.

練習1：（1）計算16 × 64的值.

（2）計算2 048 ÷ 64的值.

（3）試用對數或指數知識解釋以上計算過程.

課堂實踐1：學生很快完成了練習1前兩道小題的計算，有的學生用的是小學學習的列豎式的方法;有的學生用的是初中學習的同底數冪乘法法則，即[16×64=24×26=][210=1 024;] 還有的學生用的是材料中計算乘法的方法，通過查表可得，表2第二行中的16和64分別對應第一行中的4和6，然后求和得10，再去找第一行中10對應的第二行的數1 024即可.

隨后，學生用指數或者對數的知識解釋了第三種解法：由[4=log216，6=log264，] 可得[4+6=log216+log264=][log216×64，] 即[16×64=210=1 024.]

學生在課堂上逐步將自己所學的計算方法擱置，使用史蒂非當時的計算體系. 在這樣的計算過程中，學生去掉了現代的角色，經歷了數學家研究問題的過程.

核心問題2：布里格斯對對數的完善主要針對對數的什么部分，為什么要對對數進行這樣的完善. 學生閱讀材料2，解決該問題.

材料2：（對數的完善）納皮爾的對數著作引起了廣泛的關注，倫敦的一位數學家布里格斯于1616年專程到愛丁堡看望納皮爾，建議把對數做一些改進，使1的對數為0，10的對數為1，這樣計算起來更簡便，也將更為有用. 次年納皮爾去世，布里格斯獨立完成了這一改進，就產生了使用至今的常用對數. 1617年，布里格斯發表了第一張常用對數表. 1620年，哥萊斯哈姆學院教授甘特試作了對數計算尺.

在計算機出現以前，對數是十分重要的簡便計算方式，曾得到廣泛的應用. 對數計算尺幾乎成了工程技術人員、科研工作者離不了的計算工具. 直到20世紀發明了計算機后，對數的作用才為之所替代. 但是，經過幾代數學家的耕耘，對數的意義不再僅僅是一種計算技術，而且找到了它與許多數學內容之間千絲萬縷的聯系，對數作為一個基礎內容，表現出極其廣泛的應用性.

練習2：（1）查閱常用對數表，計算[lg1.21，lg121，][121×1 760，176÷121.]

（2）查閱常用對數表，計算[1233×4564， 12334564.]

課堂實踐2：根據如表3所示的對數表，學生很快找到了1.21的對數值，但是在求解121的常用對數時，在表格中無法找到，這時有學生提出可以根據1.21的常用對數與100的常用對數，求出121的常用對數值為2.082 8.

在計算[121×1 760]時，同理可以找到[1 760]的常用對數值3.245 5. 再計算2.082 8+3.245 5 = 5.328 3，在對數表中查找0.328 3對應的數，給這個數乘以105即可求得[121×1 760]的值. 但是在對數表中，查找0.328 3時，只能找到與它接近的0.328 4. 這時教師提出，在沒有計算器的年代，計算能夠達到一定的精度就足夠了. 況且在這么短的時間內能夠完成這樣的計算，可以節省科學家很多的時間. 所以在使用對數表時，可以進行這樣的替換，如果想進行更精確的計算，就要使用精確度更高的對數表.

有學生提出把估算的結果與實際結果進行對比，觀察誤差的大小. 對比可得，由對數表得到的結果約為[213 000，] 而[121×1 760=212 960，] 兩個結果很接近. 由此可見，在一定精度范圍內，可以使用常用對數表來進行乘除計算.

在計算[1233×4564]時，先查找1233對應的數，同樣可以計算[lg1233=3×lg123=3×lg1.23+2=6.269 7.] 同理可得，4564對應的數為10.636. 由6.269 7 + 10.636 =16.905 7，在對數表中查找0.905 7近似對應的數8.05，乘以1016，得[8.05 × 1016.]

對于已經擁有先進計算設備的學生來說，了解數學家是如何在沒有計算器和電腦的情況下進行復雜運算是一件很必要的事. 這不僅能讓學生感受到數學家的研究對數學發展的推動作用，同時還能讓學生感受到數學家孜孜不倦的鉆研精神. 數學史的閱讀，就是要讓學生“識其人，感其事，同其心”，這樣具有帶入感的數學閱讀能夠讓學生更加生動地認識數學、理解數學，最終愛上數學.

課后作業：（1）閱讀材料3，并參照實際數據進行對比，體會對數在天文計算上的簡化作用.

（2）閱讀教材第157頁的“文獻閱讀與數學寫作”，查閱與對數有關的文獻，自己選題，寫一篇數學小論文.

材料3：（對數的影響）對數的發展絕非一人之功. 首先要提到的是16世紀的瑞士鐘表匠比爾吉，當他結識了天文學家開普勒，看到開普勒每天與天文數字打交道，數字之大、計算量之繁重，真的難以想象，于是便產生了簡化計算的想法.

從1603年到1611年，比爾吉用八年的時間，一個數一個數地算，造出了一張對數表，這個對數表幫了開普勒的大忙. 開普勒認識到了對數表的實用價值，勸比爾吉趕快把對數表出版，比爾吉認為這個對數表還過于粗糙，一直沒下決心出版.

正在比爾吉猶豫不定的時候，1614年6月在愛丁堡出版了蘇格蘭納皮爾男爵所造的名為《奇妙的對數表的說明》一書，這個對數表的出版震動了整個數學界.

練習3：（1）地球繞太陽旋轉的軌道是一個近似的圓，設太陽位于軌道圓的圓心，日地距離約為15 000萬千米，地球繞太陽公轉一天經過的路程約為257萬千米，則太陽與地球的連線一天內掃過的面積約為多少平方千米？

（2）開普勒第三定律又稱周期定律，是指繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道半長軸[a]的立方與周期[T]的平方之比是一個常量[k]（即[a3T2=k]）. 現假設地球繞太陽公轉與火星繞太陽公轉的軌道都是近似的圓，且兩者繞太陽的軌道半長軸可近似看作圓形軌道的半徑，地球繞太陽公轉的半徑約為14 960萬千米，火星繞地球公轉的半徑約為22 794萬千米，試估算火星繞太陽公轉一周的時間約為多少天.

為了更好地發揮數學學科的育人功能，突出學科內容的本質，體現數學思想方法，培養數學能力，發展學生的數學核心素養. 在對數章節，教材比較注重數學知識的背景與應用. 同時，在教材的“文獻閱讀與數學寫作”中，也引導學生去搜集整理對數概念的形成與發展資料，體會對數對數學和社會的推動作用.

三、反思：面向未來，大膽改革

1. 面向學生的反思

（1）什么是數學文化？

數學文化迄今為止尚未有統一的定義，但很多學者都給出了自己的見解.“數學文化”一詞是由美國數學家懷爾德在《作為文化體系的數學》一書中提出的. 顧沛認為，“數學文化”一詞的內涵，簡單來說，是指數學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和方法;廣泛來說，除上述內涵外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等. 方延明指出，數學文化是一種外延廣泛的學科，涉及文學、史學、哲學、經濟、語言、高科技等多種學科.

（2）什么是數學閱讀？

真正的數學閱讀不是單純的讀數學故事，數學閱讀是對數學、科學、人文藝術等的整合閱讀，基于核心素養的數學閱讀關注的是學生運用數學知識、技能、思想方法和活動經驗對閱讀材料進行數學化的過程. 在這個過程中，學生要理解其中所蘊含的數學知識、方法、思想和精神，并將其應用到數學問題或實際情境中. 本節課的數學閱讀能力體現在：① 通過對數思想的萌芽，讀懂什么叫對數;② 在對數完善的過程中，通過對數簡化計算;③ 在對數的影響中，解決真實的天文問題.

（3）為什么要進行數學文化教育和數學閱讀？

《普通高中數學課程標準（實驗）》在內容標準部分，將數學探究、數學建模與數學文化作為獨立的部分呈現，闡述了各自的內涵和教育價值，并提出了要求，但是并未獨立設置內容和課時，因此在實施過程中往往流于表面，達不到要求. 由此可見，數學文化教育是亟待解決的一個問題.

劉潔民提出，數學文化在數學教育中起到了促進數學理解、改變學生的數學觀、培養學生處理現實問題的思維等積極作用.

數學閱讀是高中階段進行數學文化教育的一個重要抓手. 在本節課中，可以發現部分學生不能較好地利用材料中涉及的數學思想方法解決問題，用到的方法仍然是學生自己計算體系中的舊方法，這就是學生閱讀能力弱的一個表現. 此外，在過去的教學中，教師習慣于教學生怎樣解題，而忽視了怎樣讀題，學生的數學閱讀能力完全取決于自身的閱讀理解能力. 在新的高考評價體系中，高考的考查要求分別提到了基礎性、綜合性、應用性和創新性. 基于此，未來的高考勢必會引入更多學科綜合、學科前沿的應用性問題. 對學生的數學閱讀能力提出了更高的要求. 同時，在進行數學閱讀的過程中，學生對對數的理解會更加深入，對數學的發展與現實世界的發展的同步性會有更多的思考和認識.

（4）如何滲透數學閱讀的習慣？

數學閱讀與一般的文學閱讀是不同的，數學閱讀要求學生從大量的數學材料中甄別出關鍵的數學信息，結合自身的數學知識、技能、思想方法和活動經驗，找到問題與史料之間的聯系性，然后用數學知識去解決問題. 為了更好地培養學生數學閱讀的習慣，教師需要選取一些具有特色的數學材料，定期進行數學閱讀練習，或者引導學生自己閱讀課內外的數學材料，整理之后，在班級內進行簡單的展示、匯報和交流.

2. 面向教師的反思

（1）查閱資料的能力.

在目前強大的搜索引擎的幫助下，教師查閱相關資料的難度較低. 但很多時候，由于對所查詢的目標資料不夠明確，導致花費時間較多，且搜集的資料比較雜亂. 因此，在查詢時，首先，要確定資料目標和資料類型;其次，要根據不同的資料類型，選擇合適的搜索網站或者軟件進行查閱.

（2）資料整理和整合的能力.

在第一手資料的基礎上，教師要根據自己的教學目標和學生的學習能力，整理出一條主線，然后圍繞主線進行相應完善. 對于一些視頻資料要進行合理剪輯，保留最需要的部分.

（3）對數學文化課型的認識.

數學文化課要為學生創設一個“穿越”的情境，讓學生經歷過去的歷史，體會數學在歷史中所扮演的角色. 在這個情境中，教師可以根據歷史的發展提出一些可能在歷史中出現的問題，或者亟待解決的問題. 在課堂上，學生體驗歷史情境并解決問題. 這樣的數學文化對學生對知識的理解有很好地促進作用，有利于培養學生處理現實問題的思維，甚至改變學生的數學觀.

參考文獻：

[1]教育部考試中心制定. 中國高考評價體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]顧沛. 數學文化[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[4]方延明. 數學文化[M]. 北京：清華大學出版社，2009.

[5]中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數學課程標準（實驗）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[6]劉潔民. 數學文化：是什么和為什么[J]. 數學通報，2010，49（11）：11-15，18.

[7]黃光玉. 從歷史過程中找尋數學知識的意義：“對數的運算性質”教學思考[J]. 數學通報，2020，59（10）：46-52.