利用數學文化促進高中生數學學習的研究及反思

楊承翰 黃鴻義

【摘要】本文基于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》、“三新”（新課程、新教材、新高考）改革的具體要求，以實施百色市教育科學“十四五”規劃2021年度立項課題“數學文化對于促進學生數學學習的研究”為例，提出將我國歷史中的數學問題引入課堂討論、將外國數學研究案例融入課堂教學、在課堂教學中引入古今中外數學家的例子、開展國內外數學研究案例收集活動等教學策略。

【關鍵詞】數學文化 高中數學 課程授課影響

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）17-0103-05

數學文化，從狹義上說，是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展;從廣義上說，除了狹義上的內涵，還包括數學家、數學史、數學美、數學教育，以及數學所蘊含的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的聯系等內容。在高中數學教學中融入數學文化元素，有利于學生學習熱情的激發和學科核心素養的培養。但通過查閱大量論文和進行教學觀察，筆者發現，在“三新”改革（新課程、新教材、新高考改革）大力推進的當下，仍有不少教師忽視數學文化這一重要教學元素。為此，筆者參加了百色市教育科學“十四五”規劃2021年度立項課題“數學文化對于促進學生數學學習的研究”，對如何在高中數學教學中滲透數學文化進行了實踐研究，取得了階段性研究成果。

一、數學文化融入高中數學教學的三個實踐研究階段

在推進本課題研究過程中，筆者以百色市百色中學（以下簡稱我校）的學生為研究對象。經過前期的問卷調查、學情分析等工作，筆者設計了如下三個研究階段，明晰了每個階段的研究內容、設計原因、設計目的等內容（如表1所示）。

（一）實施課程授課影響的前期準備階段

首先，選定研究對象。經過與我校領導溝通，筆者從我校高一、高二、高三三個年級中各選兩個班級，平均每個班級50名學生，共計300名學生，作為本課題的研究對象。每個年級均設有1個實驗組（A組）、1個對照組（B組），其中，高一年級對應A1組、B1組，高二年級對應A2組、B2組，高三年級對應A3組、B3組。為了確保兩組學生的對比研究具有科學性、有效性，在選取研究對象時，我們保證兩組學生的數學成績相差不大。

其次，對研究對象進行限時測試。為了能夠獲得較為準確的數據和詳盡可靠的研究結果，筆者針對三個年級的實驗組、對照組學生設計了9份試卷，測試內容均來自新人教版高中數學教材。設計測試卷后，筆者對兩組學生分別進行了連續3次閉卷限時測試，測試結果顯示兩組學生的成績平均分相差在3分以內，說明實驗組、對照組學生的成績、水平等相差不大。進行此次測試的目的是，確保每個年級的實驗組、對照組在實施實踐研究前是兩個差距不大的群體，以便在實施研究后進行有效差別比較。

再次，進行問卷調查和談話調查。通過測試分析，獲悉實驗組、對照組兩個群體大致相當。為了更加清楚地掌握學生學情，筆者進一步對兩組學生開展了問卷調查和談話調查。從問卷調查、談話調查中，筆者發現，兩組學生對相關問題的回答具有較高的一致性，這進一步證明了在沒有進行具體、系統的數學文化課程授課影響前兩組學生在能力、特點等方面的差異性不大，為下一階段實施數學文化課程授課影響提供了較好的比較研究基礎。

（二）系統實施課程授課影響的階段

完成實驗組、對照組的分組及前期調研工作后，筆者決定用三個月時間對實驗組學生進行較為系統的數學文化介紹和課程授課影響;對照組學生則采用常規教學方法，開展常態教學。同時，為了獲得有效的教學實踐成果，筆者與實驗組、對照組的數學學科任課教師共同商討，對如何細化課堂教學、如何區別實驗組和對照組的教學內容等進行了分析，然后做出了初步決定：針對實驗組學生，每個星期開設兩節數學文化課，主要介紹國內國外的數學名家、數學發展史等內容，構建較為系統的數學文化課程;對照組學生則不開設數學文化課，只進行常態化授課實踐。我們還提出，高一年級、高二年級實驗組的數學文化課，著重向學生講述歷史上各種運用數學知識的例子和數學現象，注重展示數學的應用性;高三年級實驗組的數學文化課則側重于數學歷史和高考數學文化題的融合教學。

在實施課程授課影響的過程中，筆者除了對整個實踐研究過程進行全面跟蹤記錄，每周還與相關任課教師進行溝通交流、總結反思，每個月對兩組學生進行一次階段性問卷調查和測試比較，及時總結實施課程授課影響過程中存在的問題和有效方法，并及時調整教學方案、教學方法，確保實踐研究的有效性。

（三）數據收集分析和反思總結階段

經過在第一階段、第二階段中陸續開展的四次問卷調查，筆者發現，通過實施數學文化課程授課影響，實驗組學生的數學學習興趣逐步得到了提高，而且比對照組學生的興趣更加濃厚。具體表現為，根據四次調查問卷的結果來看，對照組學生對學習數學感興趣的人數均在40人至60人之間，占比約為26.67%—40.00%，均未超過人數的一半。實驗組學生的數據則有較大變化：在第一次課程授課影響前，筆者進行了第一次問卷調查，結果顯示實驗組學生對學習數學感興趣的人數在40人至60人之間，通過第一次課程授課影響后，相關人數增加了20人左右，達到60人至80人;在進行第二次課程授課影響的三個月中，筆者在第一個月進行了問卷調查，顯示相關人數又增加了10人左右，到了第三個月相關人數又再次增加了10人左右，實驗組學生對學習數學感興趣的人數增加到了90人至115人，占比為60.00%—76.67%。同時，筆者還對兩組學生每天用于學習數學的時間進行了統計，發現實驗組學生平均每人每天用于學習數學的時間比對照組學生所花的時間多0.5—1個小時，而在最后的測試中，實驗組學生的平均分要高出對照組學生的平均分6—10分，個別學生甚至高出了13分。對比上述實驗組、對照組的相關數據，可見通過在課堂教學過程中滲透數學文化，有效激發了學生的數學學習興趣，提高了實驗組學生的數學成績。這就證明了數學文化對提高高中生學習數學的效果有顯著作用。

二、在高中數學教學中滲透數學文化的策略

任何教育教學研究，最終都應落實到教育教學實踐中。為了更好地將數學文化融入課堂教學，實現提高學生學習興趣、發展學科核心素養的目標，在本課題研究中，筆者參考了浙江大學教授蔡天新的專著《數學簡史》，該書介紹了國內外的數學發展史、數學家及其故事、數學理論等數學文化內容，這為課題實踐研究的開展提供了大量素材。同時，筆者對人教A版高中數學教材進行了分析，發現在必修1至必修5和選修2-1、選修2-2、選修2-3中，設計了古今中外的數學現象、數學研究案例、數學理論和數學家成長故事等數學文化相關內容。據此，筆者將這些內容分為國內、國外兩個大類，在這兩個大類之下又分為數學研究內容和數學家成長故事兩個小類，最后形成了一套比較完備的數學文化校本素材，大大增強了數學文化課程授課影響的效果，提高了實驗組學生的數學學科核心素養。

（一）將我國歷史中的數學問題引入課堂討論

《周易》是我國古代“六經”之一，分為《經》和《傳》兩部分，主要闡述爻卦的內容和表征。在許多人眼里，《周易》是一本占卜之書，但事實上其中包含了許多數學問題，如《周易》64卦中就蘊含著排列組合的問題，歷法推算中蘊含著函數周期的問題，星象觀測中蘊含著概率統計的問題，等等。如64卦涉及的排列組合問題：64卦中每一個完卦都分為上卦、下卦，每卦從上到下由3個爻組成，爻又分為陰爻和陽爻，也即是說每個卦象都是由陰爻、陽爻按照不同的排列組合方式構成的。利用數學中的排列組合知識，可得：[C12C12C12C12C12C12=26=64]。這樣的排列組合，不僅反映出了數學問題，同樣也體現了古人對天地、陰陽、自然萬物和人情事理的理解，蘊含著豐富的文化元素。

為此，筆者在A3組的數學教學中融入了《周易》包含的數學文化，讓學生運用排列組合的數學知識，研究、討論爻卦的排列問題。在課堂教學中，筆者首先拋出問題：“大家已經學習了排列組合的知識，請問同學們你們知道《周易》中也蘊含著排列組合的知識嗎？”然后通過PPT呈現64卦的排列關系、變化關系，引導學生用排列組合知識重構64卦的組合過程，認識其中包含的數學知識，加深學生對排列組合知識的理解，提高知識的遷移運用能力。當學生對此有初步認識之后，筆者進一步向學生介紹各個卦象的組合原則、變化原理，以及這些組合、變化所蘊含的文化意義，并引導學生運用排列組合知識進一步推演64卦的組合關系。

在本課教學上，學生既學習了《周易》爻卦、爻卦排列及其含義等知識，擴大了文化知識視野，又學會了運用現代的排列組合知識解決古代的數學問題，提高了知識應用能力。而且，通過課后對學生進行談心調研，筆者發現，在課堂教學中融入數學文化，能夠有效激發學生的學習興趣，同時增強了學生的文化自信，落實了立德樹人根本任務。

（二）將外國數學研究案例融入課堂教學

現代數學主要是從國外發展起來的，國外數學家對數學各領域進行了深入的研究，形成了許多內涵豐富、具有教育價值的數學研究案例，如：關于函數概念的生成和完善，這一概念由德國數學家萊布尼茨于1692年首次提出，1755年瑞士數學家萊昂哈德·歐拉對函數下了定義，1837年德國數學家狄利克雷在前人的基礎上進一步完善了函數概念，直到19世紀70年代函數概念才有了嚴謹科學的表述;關于畫法幾何的研究與發展，首先是由法國數學家加斯帕爾·蒙日于1799年提出，最終發展為射影幾何學;關于公理化方法的發展及其對數學發展的影響，首先是被稱為“幾何之父”的古希臘數學家歐幾里得借助公理化方法研究數學取得了極大成功，樹立了以公理化方法研究數學的典范，其后牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中對公理化方法做了進一步研究，德國數學家大衛·希爾伯特在《幾何基礎》一書中也深入參考了公理化方法，凸顯出公理化方法在數學研究中具有重要作用。在數學教學中引入這些數學研究案例，不僅可以拓寬學生的知識視野、增長學科見識、激發學習興趣，還有利于學生學科思維的發散、科學思想的形成、創新創造能力的發展。

如關于坐標系，雖然學生都認識到這一知識的重要性，但是對其如何產生、發展，以及適用于哪些領域、如何更好更快地使用等問題，仍然沒有一個系統的認識，這就減弱了學生利用坐標系知識解決實際問題的能力。為此，筆者在教學中首先提出問題：“坐標系不是天然就有的，是哪位數學家提出來的？坐標系可以應用在哪些方面？在實際生活中，我們應該如何運用坐標系知識解決問題？”以問題為任務驅動，引導學生查閱、研讀相關材料，并進行分類研究。通過這樣的學習，學生了解了法國數學家笛卡爾的人生事跡，了解了笛卡爾提出坐標系的過程及其運用相關知識研究幾何問題的方法，對坐標系的由來與發展、概念與應用有了更加深刻的理解。而且，筆者發現，學生對坐標系知識有深刻認知后，在處理函數、解析幾何等問題和運數形結合思想解決數學問題更加得心應手了。

（三）在課堂教學中引入古今中外數學家的例子

數學家的成長故事、研究事跡是數學文化的重要組成部分，讓學生對數學家的相關資料進行學習、分析、研究，不僅能夠激發學生學習數學的興趣，還能幫助學生培養科學思維、科學思想，樹立刻苦鉆研、創新創造的精神，有利于學生數學學科核心素養的形成。古今中外有許多數學名家，如我國古代數學家有劉徽、祖沖之、賈憲、秦九韶、楊輝等，又如上文提及的眾多外國數學家，這些數學家不僅提出了眾多影響科技發展的數學理論、概念，其人生故事也能激發學生的學習熱情，激勵學生成長。在教學相關數學概念時，筆者都會讓學生了解與之相關的數學家的人生故事。如教學函數時，筆者會讓學生在課前了解德國數學家萊布尼茨、瑞士數學家萊昂哈德·歐拉、德國數學家狄利克雷等人的人生事跡，了解函數概念的提出、確定和發展的過程，既加深了學生對函數概念及其應用的理解，又有效落實了立德樹人根本任務。如我國當代也出現了一些數學人才，如北京大學數學科學學院微分方程教研室研究員韋東奕，其成長經歷對學生的發展有很大激勵作用，因此，筆者會讓學生了解韋東奕的成長過程，以此引導學生樹立正確的學習目標、人生理想。

（四）開展國內外數學研究案例收集活動

展現數學研究案例可以讓學生完整地了解某一數學知識的形成、發展過程，有助于學生深刻理解并靈活運用這一知識，是實現數學學科深度學習的有效路徑。為此，在落實數學文化促進高中生數學學習的研究過程中，筆者設計了收集國內外數學研究案例的活動，即由筆者與實驗組數學教師羅列出數學研究案例，然后讓三個年級的實驗組學生自由組成學習小組、自主選定某一案例，通過詢問教師或利用網絡、書籍等收集案例的相關材料，并對資料進行分類、整理、研讀、分析，撰寫研究小報告。實驗組數學教師對實驗組學生收集的案例、撰寫的研究小報告等做收集整理，作為“數學研究案例專題講座”的素材，定期開展跨年級的研討活動。學生完成案例收集后，筆者將這一活動延伸至課堂教學，結合相關知識點的教學，讓學生以收集到的案例作為學習的突破口，加深學生對相關知識的理解。

通過這樣的活動，有效激發了學生進行數學研究的興趣，同時也讓學生在對數學研究案例內容和教材相關內容進行分類、對比研究的過程中，強化教材相應內容的消化吸收，進一步加深對教材內容的理解。此外，學生在收集資料過程中對數學文化有了更加深入的學習和了解，提高了學生個人的閱讀和欣賞能力。

三、在數學教學中滲透數學文化的思考

在實施課題研究過程中，筆者通過觀察發現，在開展研究前，高一年級、高二年級、高三年級實驗組學生學習數學的興趣并不高，主動安排學習數學的時間不多，數學作業完成率也不高。通過實施數學文化課程授課影響后，實驗組學生的數學學習興趣得到顯著提高，主動投入數學學習的時間增加了，數學作業完成率也提高了。而通過對對照組學生進行調研，發現無論是研究前還是研究后，高一年級、高二年級、高三年級對照組學生在數學學習興趣、每天數學學習時間、作業完成率、課間主動提問人數等方面基本保持不變。這就充分證明了在數學教學中滲透數學文化，能夠較好地激發學生的數學學習興趣，提高學習效率和效果。

但是，由于本課題研究歷時比較短，目前所得結果也只是階段性成果，課題研究中尚有不少問題需要做更加深入的探討，開展更為廣泛的實踐研究，有些成果也還需時間的驗證。為了確保今后研究工作的有效性、系統性，筆者對現階段的研究做了如下思考。

（一）嚴選研究對象，提高研究科學性

研究對象的選擇是否科學、合理，是課題研究能否有效推進的前提。因此，在實施本課題研究的過程中，教師一定要精選研究對象，確保所選擇的研究對象在實施研究前具有較高的一致性、較多的共同點。所謂“一致性”，即作為對比研究的雙方（實驗組與對照組），在學習能力、成績水平、學習效率等方面相差不大，如此才能確保開展研究后，對二者進行對比研究的科學性、合理性。在實施本課題研究前，筆者對學生進行問卷調查、談心調研的目的也在于此。數學文化作為一種文化形態，其對學生的影響是隱性的、潛移默化的，而且促使其發揮影響力需要多方面條件，這就給教師判斷其是否具有影響力、影響力發揮程度的高低帶來一定的難度。所以，教師在開展相關研究的過程中，第一步首先要嚴選研究對象，確保研究對象具有較高的對比研究意義，才能保證研究的科學性。

（二）有規劃地實施研究過程，嚴格過程管理

每一個課題研究都需要科學的管理做保障。在實施本課題研究過程中，筆者將整個研究過程劃分為三個階段，并對每個階段需要完成的研究工作、研究任務、研究時間節點等做了詳細劃分和設計。研究過程中，筆者及其他數學教師按照每個時間節點的具體安排，開展相關研究工作，收集相關研究數據，對學生進行問卷調查、談心調研，及時了解研究存在的問題，并及時調整研究策略、方向、內容和方法。另外，各學校應根據本校實際，加強本校學生的管理，盡量減少實驗組、對照組學生進行關于數學文化滲透教學方面的交流，避免在研究過程中對照組學生也受到一定程度的數學文化影響，導致實驗組、對照組學生對比研究意義的弱化。

（三）構建科學的數學文化體系，提高教學有效性

構建科學的數學文化體系，是提高數學文化課程授課影響效果的關鍵一步，也是目前本課題研究亟須解決的問題。數學文化體系包括內容體系、方法體系兩個方面，其中，內容體系即需要教師充分研究國內外數學發展史、數學家的觀點和人生經歷、重要的數學研究案例、重要的數學發展節點和階段，同時要關注數學方面的前沿知識、觀點和研究成果，然后再系統分析教材的內容和結構、數學課程標準的要求，以及“三新”改革的具體要求、目標，逐步構建系統的數學文化內容體系，從而為學生提供更加科學、合適的學習內容。方法體系即教學方法體系，教師應結合學生學情、校情、教學目標和需求等實際，選擇更加有效、更加生動的教學方法，可以是組織小課題研究，可以是開展情景劇表演，也可以是舉辦班級研討辯論會，這樣才能充分激發學生了解數學文化、學習數學文化的興趣，促使數學文化育人功能的有效發揮。

通過開展本課題研究，可以有效證明一點：在高中數學教學中實施數學文化課程授課影響，不僅能夠提高學生的學習積極性、學習效果，推動數學學科深度學習的實現，還有利于學生正確文化觀、人生觀、世界觀等的培養，促使立德樹人根本任務落到實處。總而言之，在“三新”改革、學科核心素養等備受關注的當下，高中數學教師應著力探索將數學文化融入學科教學的有效途徑，促進學科教學的改革創新。

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注：本文系百色市教育科學“十四五”規劃2021年度立項課題“數學文化對于促進高中學生數學學習的研究”（2021001）的階段性研究成果。

作者簡介：楊承翰（1990— ），廣西樂業人，主要研究方向為高中數學教學、高考數學備考、高中數學聯賽及高中物理奧林匹克競賽;黃鴻義（1964— ），廣西百色人，高級教師，主要研究方向為基礎教育、高中數學教學。

（責編 蒙秀溪）