利用還原法解決導數中的一類問題

華加婷

摘要：本文通過幾個例題，先探索構造抽象函數的通用步驟，再進行導數的加法或減法運算，接著進行對數乘法或除法運算，構造相應的函數，從而巧妙地解決此類問題.

關鍵詞：高中數學;導數;還原

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）19-0076-03

1 問題的提出

在高中數學學習過程中，解題的方法多種多樣，但一般來說，最常見的方法是“前推后”，即通過已知條件向后推算出結果.而實際操作過程中很多問題是需要“逆推”的，例如導數中的一類問題，需要將導數還原，這需要學生具備一定的邏輯推理能力.而多數學生因不知道從哪里下手，所以找不到解題的切入點，這時就需要運用多種解題方法.還原法是眾多方法之一，是依據數學規則和方法，來實現導數的還原.對于絕大多數高中生來說，能記憶某些導數的原函數，卻不知道還原原函數的方法.

為了幫助學生解決此類問題，本文介紹一種構造函數的方法：“對數還原法”，它是為了證明中值定理而采用的一種方法，其原理是將目標條件構造成兩個以e為底對數函數的形式，最終所構造的輔助函數是利用導數加減法則和對數運算法則而得.順著這個思路，將其應用在抽象函數導數的一類問題中，去探求從特殊到一般、抽象到具體的解題方法.

2 步驟初探索

一般情況下，在高考數學試題中，抽象函數和導數結合常以綜合題的形式出現.下面將以xf ′（x）-f（x）=0為源頭，探索在題目給出不同條件的情況下，如何不靠“死記硬背”而靈巧地構造相應的“關鍵性”函數，從而為解決這一類問題提供切實可行的解題步驟.

在高中有兩種構造抽象函數的方法，一是利用和差函數求導法則構造;二是利用積商函數求導法則構造，其本質上是組合還原，其關鍵點是根據已知條件的特點去還原、構造.例如，當題目中出現f ′（x）+g′（x）=0時，可構造F（x）=f（x）+g（x）……當然，有一部分學生能夠記住非常多的函數構造公式.雖然說這在一定程度上對解題有所幫助，但是在遇到一些更有深意、陌生的題目時，這些公式很有可能是“一把破刀”而非“利劍”.因此，為了更高效地學習數學，需探索同類題型的通法，而非是記住所有的公式.

2.1 直接構造

3 步驟應用

綜上，從上面的例題可以看出，作商還原的解題步驟為構造一類非常規、非常見的函數提供一定的構造思路.當然，解決問題的方法多種多樣，并非一定按照上述步驟去解題.在解題時，面對新穎的、更有深意的題目，可靈活運用解題技巧，多角度思考問題、分析問題.

參考文獻：

[1]于志洪.構造函數法解題初探[J].數學教學研究，2015，34（12）：34-38.

[2] 李兆強.高中數學數列的解題常規方法分析[J].數理化學習（高中版），2015（07）：2-3.

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