初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用

摘要：分類討論思想是初中數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法，是中考的熱門考點.為使學(xué)生掌握分類討論思想在解題中的應(yīng)用思路與技巧，在討論中做到不重不漏，提高解題正確率，應(yīng)注重結(jié)合不同題型為學(xué)生講解分類討論思想的具體應(yīng)用過程，使其積累豐富的應(yīng)用經(jīng)驗.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);解題;分類討論思想;應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）20-0008-03

應(yīng)用分類討論思想解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題的難點在于如何找到分類討論的分界點.不同的題型尋找討論分界點的方法存在較大差別，因此教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題題型的歸納以及分類討論思想在解題中的具體應(yīng)用，給學(xué)生帶來良好的解題啟發(fā).

1 用于求解絕對值中的參數(shù)

例1有理數(shù)x，y滿足|x|+|y|=13，|x+y|=1，求x的值.

解析∵|x|+|y|=13，|x+y|=1，|x+y|≠|(zhì)x|+|y|，可知x、y必定異號.接下來需要進行分類討論：

（1）當x>0，y<0時，則x-y=13，y=x-13，∴|2x-13|=1，則2x-13=±1，解得x=6或x=7;

（2）當x<0，y>0時，則-x+y=13，y=x+13，∴|2x+13|=1，則2x+13=±1，解得x=-6或x=-7;

反思解答絕對值問題時為更好的找到分類討論的分界點，應(yīng)認真審題，結(jié)合所學(xué)，充分挖掘隱含條件.如題目中判斷出x、y異號是分類討論的關(guān)鍵.

2 用于求解函數(shù)中的參數(shù)

2.1 遇有坐標軸名稱不明確時需討論

例2已知正比例函數(shù)y=k1x與一次函數(shù)y=k2x+b圖象經(jīng)點P（-2，1），其中一次函數(shù)y=k2x+b圖象與y軸交點坐標為A（0，3），求直線y=k1x與直線y=k2x+b與坐標軸圍成三角形的面積.

解析∵直線y=k1x經(jīng)點P（-2，1），∴正比例函數(shù)解析式為y=12x.

∵直線y=k2x+b經(jīng)點P（-2，1）與A（0，3），∴一次函數(shù)解析式為y=x+3.

（1）兩條直線與y軸圍成△AOP，如圖1所示，過點P作PM⊥OA，垂足為M，∴S△AOP=12OA·PM=3.

（2）兩條直線與x軸圍成△BOP，如圖1所示，過點P作PN⊥x軸，垂足為N，設(shè)直線y=x+3且與x軸相交于點B，∴S△BOP=12OB·PN=32.

由此可知，兩條直線與坐標軸圍成三角形面積為32或3.

反思從已知條件可直接求出一次函數(shù)與正比例函數(shù)解析式，然而在求兩條直線與坐標軸圍成三角形面積時并未直接指出是x軸或y軸圍成的三角形，所以可采取分類討論思想.

2.2 遇有點位置不明確時需討論

例3在平面直角坐標系中，已知點A（-3，0），B（2，6），x軸上有一點C滿足S△ABC=12，求點C坐標.

解析∵S△ABC=12，∴AC=4.

（1）當點C在點A右側(cè)，點C坐標為（1，0）;

（2）當點C在點A左側(cè)，點C坐標為（-7，0）.由此可知，點C坐標為（1，0）或（-7，0）.

反思由于無法確定x軸上點C位置，故而需要采取分類討論.

2.3 遇有k、b符號不確定時需討論

例4一次函數(shù)y=kx+b圖象與x軸、y軸分別交于A與B兩點，S△AOB=4，且OA：OB=1：2，求該一次函數(shù)解析式.

解析∵S△AOB=4，∴12OA·OB=4.

∴OA·OB=8.

∵OA∶OB=1∶2

∴設(shè)OA=x，OB=2x（x>0），則x·2x=8，即x=2（-2舍去）.

∴OA=2，OB=4.

（1）當k>0，b>0時，一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)第一/二/三象限，此時A（-2，0），B（0，4），一次函數(shù)解析式為y=2x+4.同理可得：

（2）當k>0，b<0時，一次函數(shù)解析式為y=2x-4.

（3）當k<0，b>0時，一次函數(shù)解析式為y=-2x+4

（4）當k<0，b<0，一次函數(shù)解析式為y=-2x-4.

由此可知，一次函數(shù)解析式為y=2x±4或y=-2x±4

反思因無法確定k與b符號且二者的值存在較多可能，故而需要分類討論.

2.4 遇有增減性不明確時需討論

例5已知一次函數(shù)y=kx+b自變量x取值范圍為-2≤x≤6，對應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為-11≤y≤9，求一次函數(shù)解析式.

解析（1）若函數(shù)y=kx+b為增函數(shù)，那么一次函數(shù)y=kx+b圖象兩端點坐標為（-2，-11）與（6，9），一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6.

（2）若函數(shù)y=kx+b為減函數(shù)，函數(shù)y=kx+b圖象兩個端點坐標為（-2，9）與（6，-11），一次函數(shù)解析式為y=-2.5x+4.

由此可知，一次函數(shù)解析式為y=2.5x-6或y=2.5x+4.

反思由于未明確一次函數(shù)y=kx+b中k值的符號，所以無法確定函數(shù)增減性與其對應(yīng)兩個端點坐標，需采取分類討論.

3 用于求解圖形中的線段長度

例6一張直角三角形紙張ABC，∠C=90°，AB=10，AC=6，點D為BC邊上任意一點，沿著過點D的直線折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E上，若當△BDE為直角三角形時，CD的長為.

解析（1）∠BDE=90°時，對應(yīng)的情境如圖2所示，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，由勾股定理得到：BC=102-62=8，根據(jù)題意可知四邊形CDEF為正方形.設(shè)CD=x，則BD=8-x，AF=6-x，易得△AEF∽△EDB，∴AF/ED=EF/DB，即6-xx=x8-x，解得x=247，此時CD=247.

（2）當∠DEB=90°時，對應(yīng)的情境如圖3所示，連接AD，則可知△ACD≌AED，CD=DE，AC=AE=6，設(shè)CD=x，則BD=8-x，BE=10-6=4，則在直角△DEB中，由勾股定理得到：x2+42=（8-x）2，解得x=3.綜上可知CD的長為3或247.

反思遇到幾何中的折疊問題時應(yīng)冷靜分析，保證考慮問題的全面性.必要時要畫出相關(guān)草圖輔助分析，求解出滿足題干情境的線段長度.

4 用于求解函數(shù)圖象中點的坐標

例7如圖4，已知拋物線y=x2-2x-3的頂點為E，且和x軸正半軸交于點C，在y軸上存在一點D，滿足DC=DE，若在直線DE上存在一點P，使得以C、D、P為頂點的三角形和△DOC相似，求出所有可能的點P的坐標.

解析根據(jù)已知條件容易求得C（3，0），E（1，-4），設(shè)點D（0，x），由DC=DE，可知32+x2=（-1）2+（x+4）2，解得x=-1，則點D的坐標為（0，-1），則CD=10.設(shè)過DE的直線為y=kx-1，將E點坐標代入得到k=-3，∴y=-3x-1.過點E作EF垂直于y軸，垂足為F，如圖5所示，容易證得△DFE≌△COD，∴∠FDE=∠OCD，∠CDO=∠DEF，∵∠OCD+∠ODC=90°，即∠FDE+∠ODC=90°，∴CD⊥DE.

（1）當OC和CD為對應(yīng)邊時，由△PDC∽△DOC，OC/CD=OD/PD，容易求得PD=103，因點P在DE上，設(shè)點P（x0，-3x0-1），則x20+（-3x0）2=103，解得x0=±13，則對應(yīng)點P的坐標為（13，-2）或（-13，0）.

（2）當OC和DP為對應(yīng)邊時，由△CDP∽△DOC，OC/DP=OD/DC，容易求得PD=310，因點P在DE上，設(shè)點P（x0，-3x0-1），則x20+（-3x0）2=310，解得x0=±3，則對應(yīng)點P的坐標為（3，-10）或（-3，8）.

綜上，滿足條件的點P的坐標有：（13，-2）、（-13，0）、（3，-10）、（-3，8）.

反思求解函數(shù)圖象中點的坐標問題難度一般較大，解題時應(yīng)注重聯(lián)系所學(xué)的一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象、圖形的全等與相似等知識點，尤其當對應(yīng)邊不明確時應(yīng)注重分類討論.根據(jù)圖形的全等、相似性質(zhì)構(gòu)建相關(guān)的等式關(guān)系，為求解點的坐標做鋪墊.

為使學(xué)生掌握應(yīng)用分類討論思想解題的技巧，既要注重為學(xué)生講解相關(guān)的理論與例題，又要要求學(xué)生做好學(xué)習(xí)的總結(jié)，把握不同題型分類討論的注意事項以及相關(guān)細節(jié).同時，要求學(xué)生結(jié)合自身學(xué)習(xí)的薄弱點，及時進行針對性的訓(xùn)練，不斷提高運用分類討論思想解題的熟練程度.

參考文獻：

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[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-04-15

作者簡介：陳曄華（1977.9-），男，江蘇省無錫人，本科，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.