借一題多解，助數學思維發展

蔣浩文

[摘 ?要] 平面幾何題作為中考數學的壓軸題之一，具有嚴密的邏輯性、知識的融合性、較強的綜合性、解題思路的多樣性等特點，對學生的數學思維能力要求較高. 平面幾何題的解法往往因輔助線的不同而有多種不同的解法. 文章以一道初中平面幾何題為例，探究了此題八種不同的解法，以期為助推數學思維的發展帶來啟發.

[關鍵詞] 一題多解;平面幾何;數學思維

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，數學課程要培養學生的數學核心素養，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界[1]. 數學思維是數學核心素養的重要體現，是數學教與學關注的重點. 平面幾何題作為歷年中考數學壓軸題之一，綜合度高、邏輯性強、解題思路多樣，往往有多種解法，在助推學生數學思維能力發展方面具有重要的作用. 下面以一道平面幾何題為例，挖掘一題多解的價值，以期助力學生數學思維能力的發展.

初中幾何一題多解的價值

一題多解，是指對同一道題從不同方向、不同層次去思考，進而得出兩種或兩種以上的解法. 初中平面幾何題的一題多解，主要是從不同的已知條件出發，融合不同的知識點，從而作出不同的輔助線，最終實現一題多解. 輔助線具有聯系已知和未知、將分散的條件集中、揭示隱含條件等作用[2]，作不同的輔助線是實現平面幾何題一題多解的重要前提. 初中幾何一題多解有多方面的作用和價值.

1. 一題多解能拓展學生的數學思維

如培根所言，數學是思維的體操，感悟數學思想方法、提升思維品質是學習數學的主旨. 能一題多解的試題往往具有綜合性、靈活性、啟發性等特點，其既包含基本知識，又有一定的知識廣度和難度，所以對學生思維的連貫性與靈活性有較高的要求[3]. 解決同一道題時得到多種不同的解法，不僅能提升學生學習數學的興趣，開闊學生的知識眼界，還能發展學生的邏輯思維、模型思維、發散性思維以及創新思維等.

2. 多維探究能提高學生的解題能力

中學數學的目的，歸根結底是培養學生解決問題的能力，即基本運算能力、邏輯推理能力以及良好的解題習慣等[4]. 在基本能力培養的要求之上開展一題多解，能鼓勵學生從不同的維度對試題進行解析，探究多種不同的解決方法，有助于拓寬學生的解題思路，且分析與復盤解決試題的整個過程，還能增強學生的解題能力.

3. 知識遷移能提升學生的學習效率

一題多解是梳理知識與思想方法的有效方式之一，它不僅可以活化所學的知識，還能實現知識的遷移與融會貫通，從而使解題思路得到發展. 學生在學習數學的過程中，不應該單純地記憶數學公式、概念和定理，還應形成固定的解題方法，從而節約解題時間[5]. 由此可見，一題多解不僅能強化基礎知識、明晰解題思路，還能提升學習效率.

4. 幾何探索能激發學生的學習興趣

解題就是解決問題，即求出數學試題的答案. 有效的解題學習不僅僅指解題方法或解題技巧單方面的理解與遷移. 幾何題有多個條件，不同思維水平、認知水平的學生可根據已有的知識水平和經驗，運用條件并從不同思路探索試題中幾何量之間的關系，尋找解決問題的方法，從而實現不同思維水平、認知水平的學生都能解決幾何問題. 在解決幾何問題的過程中，學生從不同的角度探索，可使其自我效能感得到不同程度的滿足，從而激發不同層次的學生學習數學的興趣，并增強他們解決幾何問題的信心.

實例分析

1. 試題呈現

如圖1所示，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D在△ABC內部，連接AD，BD，CD，F是CD的中點，連接BF，且∠BAD=∠CBF，求證：∠DBF=45°.

分析這道題選自2022年重慶中考數學第一輪復習資料書《巔峰對決（精練本）》中幾何初步“第三節 全等三角形”第12題的第（2）問. 這是一道典型的以三角形為背景的平面幾何證明題，主要考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定、三角形中特殊線段的性質等知識點，題目緊扣《義務教育數學課程標準（2022年版）》的要求，考查學生的抽象能力和推理能力.

2. 解法分析

下面8種解題方法是從“F是CD的中點”這一已知條件出發，按照無中點輔助線、倍長中線和構造中位線的順序排列的.

解法1利用直角頂點，構造旋轉型全等，得到等腰直角三角形，再利用中位線證明中點，通過等腰三角形的“三線合一”證明角平分線.

輔助線：如圖2所示，將△ABD繞點B順時針旋轉90°后得到△CBG，連接DG交BF于點E.

易得BD=BG，∠ABD=∠CBG，所以∠DBG=90°，△DBG是等腰直角三角形. 因為∠BAD=∠CBF，∠BAD=∠BCG，所以∠CBF=∠BCG. 所以BF∥GC. 又因為F是CD的中點，所以EF是△DGC的中位線. 所以點E是DG的中點. 根據等腰三角形“三線合一”，可知BE是∠DBG的平分線，即∠DBF=45°，問題得證.

解法2從特殊的直角入手，構造“一線三垂直”，從而得到兩組全等三角形，再通過等腰直角三角形證明.

輔助線：如圖3所示，延長AD交BF于點P，過點C作BF的垂線交BF的延長線于點Q.

易證∠APB=90°，△ABP≌△BCQ，所以BP=CQ，AP∥CQ. 還可以證得△DPF≌△CQF，所以CQ=DP. 所以DP=BP. 所以△DBP是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，問題得證.

解法3利用中點，倍長中線，構造全等三角形，通過角的轉化證明垂直，再通過全等三角形證明∠DBF所在的三角形是等腰直角三角形，從而得證.

輔助線：如圖4所示，延長BF至點M，使FM=BF，連接DM，延長AD交BF于點E.

易證△DFM≌△CFB，所以DM=BC=BA，∠M=∠CBF=∠BAD. 易證∠DEB=90°，進而可證得△ABE≌△MDE，所以BE=DE. 所以△BDE是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，問題得證.

解法4利用中點倍長中線，構造全等三角形，再通過截長的方法截取相等的線段構造第二組全等三角形，通過等角轉換和證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖5所示，延長BF至點H，使FH=FB，連接CH，在BF上截取BM=AD，連接CM.

易證△BDF≌△HCF，△ADB≌△BMC，所以CH=BD=CM. 所以△MCH是等腰三角形. 因為∠HCB=180°-∠DBC=180°-（90°-∠ABD）=90°+∠MCB，所以∠HCM=90°. 所以△MCH是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠H=45°，問題得證.

解法5通過截長的方法截取相等的線段構造全等三角形，再通過中點倍長中線構造第二組全等三角形，進而得到等腰直角三角形.

輔助線：如圖6所示，在BF上截取BP=AD，連接CP，延長BF至點H，使FH=FP，連接CH，DH.

易證△ADB≌△BPC，△DHF≌△CPF，所以DB=PC=DH. 所以△DBH是等腰三角形. 因為∠DBH+∠ABD+∠PBC=90°，∠ABD+∠PBC=∠BCP+∠PBC=∠HPC=∠FHD，所以∠DBH+∠FHD=90°. 所以△DBH是等腰直角三角形. 所以∠DBF=45°，問題得證.

解法6利用中點倍長中線，構造全等三角形，再通過同一直角頂點作垂直得到相等的角，證明三角形全等，進而通過證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖7所示，延長BF至點K，使FK=BF，連接CK，過點B作DB的垂線交AD的延長線于點E.

易證△DBF≌△CKF，所以BD=CK，BD∥CK. 易得∠ABD=∠CBE，∠ABE=∠BCK=90°+∠CBE，所以△ABE≌△BCK. 所以BE=CK=BD. 所以△DBE是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠K=∠E=45°，問題得證.

解法7利用中點構造三角形中位線，得到兩直線平行的位置關系，再通過同一直角頂點作垂直得到相等的角，證明三角形全等，進而通過證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖8所示，延長CB至點Q，使BQ=BC，連接DQ，過點B作DB的垂線交AD的延長線于點P.

由輔助線可知BF是△CDQ的中位線，所以∠Q=∠CBF=∠BAD. 易得∠ABD=∠CBP，所以∠QBD=∠ABP. 所以△QBD≌△ABP. 所以BD=BP. 所以△BDP是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠QDB=∠P=45°，問題得證.

解法8利用中點構造三角形中位線，得到兩直線平行的位置關系，再通過同一直角頂點作垂直得到相等的角，證明三角形全等，進而通過證明等腰直角三角形得證.

輔助線：如圖9所示，延長DB至點K，使BK=BD，連接CK，過點B作DB的垂線交CK于點G，連接DG.

由輔助線可知BF是△DKC的中位線，所以∠BCG=∠CBF=∠BAD. 易得∠ABD=∠CBG，所以△ADB≌△CGB. 所以BD=BG=BK. 所以△KBG是等腰直角三角形. 所以∠DBF=∠K=45°，問題得證.

一題多解的教學思考

1. 拆分條件預設處理，培養邏輯思維

實例中展示了8種解法，不同的解法源于拆分已知條件，將條件預處理后進行重組，從而形成多種不同的解題思路.

條件1：F是CD的中點.

預處理：可以得到兩條相等的線段，為證明三角形全等提供條件;倍長中線后可構造全等三角形;構造中位線后可得到線段間的關系.

條件2：∠ABC=90°，∠BAD=∠CBF.

預處理：可繞直角頂點B順時針旋轉90°或過直角頂點B作垂直（它們其實是同一種輔助線的不同敘述方式），構造“一線三垂直”，截取相等的線段得到全等三角形.

具體的輔助線構造思路如表1所示.

由表1可知，中點最常用的輔助線構造思路是倍長中線和構造中位線，其中倍長中線需要證明兩次全等，而構造中位線只需要證明一次全等. 遇見直角最常規的思路是作垂直導角，為證明三角形全等提供角的條件. 據此，將預處理后的思路進行重組后便形成了多種不同的解法.

南京大學鄭毓信教授強調“以正合，以奇勝”，也就是既應善于通過學習不斷實現必要的優化，又應努力跳出已有的框架從不同角度進行分析與思考，包括發現與建立新的聯系，實現更高層次的抽象等[6]. 所以，在解答平面幾何問題時，我們可以先將題目中的已知條件進行優化，即拆分條件做預設處理，使條件得到充分的利用，再從不同的角度重組條件，建立幾何量之間新的聯系，不同的重組方式便可形成不同的解法. 拆分、重組條件并解決問題的過程能培養學生的數學抽象思維和邏輯思維.

2. 尋找解題“通性通法”，培養發散思維

章建躍先生認為：“通性”就是概念所反映的基本性質，“通法”就是概念所蘊含的數學思想和方法[7]. 金鐘植先生認為：在日常教學中，談到性質的時候叫“通性”，談到思想和方法的時候就叫“通法”，但在解決問題的過程中應該叫運用“通性通法”解決問題[8].

在實例中，中點的“通性”是把線段分為兩條相等的線段的點，即中點到線段兩個端點的距離相等，“通法”是倍長中線法和構造中位線法;直角的“通性”是兩條直線互相垂直，即由這兩條直線所構成的所有三角形都是直角三角形，“通法”是利用直角三角形中的90°（直角、其余兩內角和）以及題目中所給的角的條件推導出相等的角，進而選擇直接作垂線或“一線三垂直”等添加輔助線的方法，最終運用中點和直角的“通性通法”解決問題.

初中數學平面幾何經常考查線段關系的證明，所以我們應大量積累解題經驗，總結出解此類證明題的“通性通法”. 證明線段的數量關系時，通常是證明多條線段之間的長度數量關系，此時需要找圖形中邊的關系，具體做法是將其放在全等三角形中，通過等量代換轉化邊相等;證明位置關系時，通常是證明兩條直線平行或者垂直，此時需要找圖形中角的關系，若證明兩直線平行，則找內錯角、同位角、同旁內角的關系，若證明垂直，則通常通過證明由這兩條直線所形成的三角形另外兩個內角之和為90°來完成證明.

一道試題是否有多種解題方法，取決于試題本身是否綜合了多個知識點. 假如試題有多種解法，可根據其涉及的不同知識點的“通性”，利用“通法”來得到多種解法. 學生利用“通性通法”解決問題的過程是思維碰撞的過程，其不僅能使基礎知識得到成熟與深化，還能引導學生形成發散性思維能力，逐步養成發散性思維的習慣. 一題多解不僅能運用“通性通法”解決問題，培養學生的發散性思維，還能在解決問題的過程中完善解題的“通性通法”.

結語

初中幾何題一題多解，能讓學生在掌握更多理性知識的同時，培養其邏輯性、發散性、創造性、直觀性等數學思維. 在幾何題的解決過程中，運用不同的圖形語言表征幾何問題，親身經歷不同的解題過程，有利于學生幾何直觀、空間觀念和推理能力等核心素養的發展. 一題多解作為發散性思維的一種表現形式，它將數學理論、數學步驟、思維模式和發散能力集于一體，能促進學生全面、系統地掌握知識，能讓學生形成完整的數學理論框架. 所以，教師可以適當地開展一題多解教學，切實發揮學生的主體作用，幫助學生理解與記憶數學知識，強化基礎知識，發展邏輯思維，增強他們解決數學問題的信心.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]趙利俠. 輔助線在幾何題中的重要性[J]. 考試周刊，2016（53）：58.

[3]丁淑琳，王羅那，黃韜. 基于“一題多解”的初中數學核心素養培養[J]. 湖州師范學院學報，2021，43（08）：112-116.

[4]孫淑梅. 從一道考題的多解看初中數學幾何解題能力的培養[J].現代中學生（初中版），2021（18）：27-28.

[5]王茁力. 初中數學“一題多解”的教學價值[J]. 中學數學教學參考，2018（z3）：99-100.

[6]鄭毓信. 數學思維教學的“兩階段理論”[J]. 數學教育學報，2022，31（01）：1-6+78.

[7]章建躍. 注重通性通法才是好數學教學[J]. 中小學數學（高中版），2011（11）：50.

[8]金鐘植. “數學通性通法”的研究綜述及其現實意義[J].數學通報，2021，60（01）：32-38.