活用數形結合 提升解題能力

林子淵

數形結合是一種重要的數學思想方法，在整個數學思想體系中占有重要位置。其直觀性強，有利于學生理解數學問題，通過數與形的相互轉化、相輔相成，可使抽象的問題直觀化，復雜的問題簡單化，模糊的問題清晰化，有助于學生把握問題本質，提高分析問題的能力，使數學問題迎刃而解。

一、數形結合，使抽象的問題直觀化

數學實際上是一個翻譯的過程，將文字語言翻譯成圖形，或將圖形翻譯成文字語言。在這個翻譯的過程中，有一部分學生的分析能力、理解能力較弱，對一些抽象數學問題的理解存在較大困難。這時，教師不妨引導學生利用實物圖或者畫圖，借助圖形的直觀作用，便于解決抽象的數學問題。

如，在教學“除數是整十數的口算除法”時，教師出示了這樣的情境：有80面彩旗，每班分20面，可以分給幾個班？學生根據題意列出算式80÷20。口算時，先引導學生在小棒圖上圈一圈，一捆10根小棒表示10面彩旗，2捆共20根小棒圈起來為一組，8捆里面有幾個2捆？也就是80里面有幾個20？利用小棒圖理解“因為8÷2=4，所以80÷20=4”的除數是整十數的口算除法方法。也可以指導學生借助計數器來分析，10面彩旗在計數器上用十位一顆珠子表示，8顆珠子撥在十位上表示80，每一顆表示10面彩旗，每2顆分一組表示20面彩旗，就可以表示80里面有幾個20，列式口算就是80÷20=4。計算方法可以遷移到800÷200、8000÷2000……除數是整十數的口算除法，一部分學生不能理解算理，特別是由“8÷2=4”得到“80÷20=4”口算方法的算理，學生借助小棒圖和計數器能更好地理解除數是整十數的口算除法轉化成表內除法的口算除法算理。讓學生在直觀中理解算理并掌握抽象的口算方法，實現算理與算法的交融。

在小學階段，學生的直觀形象思維占主導地位，因此大部分抽象數學知識的學習都需要“形”的支撐，借助小棒圖和計數器的“形”來教學除數是整十數的口算除法，讓學生在直觀中理解算理并掌握抽象的口算方法，活用數形結合，提升學生解決問題的能力。

二、數形結合，使復雜的問題簡單化

在小學階段，學生由于理解和認知能力有限，只從文字表述單方面去思考，對于部分理解能力不強的學生來說，解決問題時會存在一定的困難。而線段圖是數學教學中常用的方法，在解決一些數量關系錯綜復雜的實際問題時，應用畫線段圖的方法分析解答，可以使復雜的數量關系式變得簡單明了，問題就很容易得到解決。

如，教學“比的應用”時有這樣一題：小明用一星期讀完一本課外讀物，前5天讀了這本書的，第6天和第7天讀的頁數比是3∶2，第6天比第7天多讀10頁，這本課外讀物有幾頁呢？

引導學生畫線段圖（如圖1）進行分析，通過線段圖，學生很容易看出第6天比第7天多讀10頁是后面兩天讀的總頁數的，就可以求出后面兩天讀的總頁數，再根據線段圖直觀看出后面兩天讀的總頁數占一星期讀的總頁數的，就能快速的列式解答，10×（3+2）÷（9-7）×9=225（頁）或者10÷（）÷（1-）=225（頁）。

又如，教學“百分數解決問題”時有這樣一題：一根竹竿不到9米，從一端量到5米處做一個記號A，再從另一端量到5米處做上記號B，這時AB間的距離是竹竿長度的25%，竹竿長多少米？可以根據題目意思畫圖2，一些學生觀察圖2，動腦筋想出了解決問題的辦法，兩個5米就是整根竹竿長度和整根竹竿長度的25%之和，整根竹竿長度看成單位“1”的量，列式（5+5）÷（1+25%）=8（米），求出竹竿長8米。一些學生觀察圖2后還想不出解決問題的辦法，可以在圖2的基礎上，畫出圖3，讓這些學生更直觀地觀察到兩個5米就是整根竹竿長度和整根竹竿長度的25%之和。

由此可見，在教學中，如果學生能學會用線段圖來表示數量關系，可以幫助學生從復雜的數量關系中尋找數學知識之間的聯系，提高學生分析問題的能力，使復雜的問題變簡單。

三、數形結合，使模糊的問題清晰化

在平常的學習中，學生常常碰到一些思維含量大、富含變化、信息模糊不清的問題，這些問題應用簡單的數學公式不能很好解決。在解決這些問題的過程中，學生常常會有“亦此亦彼”的解題思路，無從下手。此時，教師引導學生應用畫直觀圖的方法，就能很快找到解決問題的突破口。

如，教學“長方形和正方形的面積”時有這樣一題：陳叔叔家有一塊長80米，寬60米的長方形菜地，菜地的一部分被道路拓寬征用，菜地長和寬都減少了10米，道路拓寬后菜地面積減少多少平方米？學生獨立思考完成后，會有兩種解題方法：（1）10×10=100（平方米）（2）80×60-（80-10）×（60-10）=1300（平方米），但分不清楚哪種方法是正確的。此時，引導學生畫直觀圖（如圖4）判斷，學生恍然大悟，方法（1）的10×10=100（平方米）只是減少面積中的一小部分（圖中陰影部分的面積），所以用10×10=100（平方米）的列式解答是不正確的。學生通過畫直觀圖可以清晰的判斷方法（2）是正確的，通過畫圖有的學生還找到了其他列式解答的方法。先分別求出減少的三塊面積，再相加，列式解答為（80-10）×10+（60-10）×10+10×10=1300（平方米）。

又如，教學“三角形的面積”時有這樣一題：有一個三角形的花圃，底長8米，如果這條底對應的高不變，底延長2米，那么，它的面積就增加4平方米，原來三角形花圃的面積是多少平方米？學生讀完題目，理不清楚混亂的數量關系，通過畫圖，學生發現延長的那一段底乘這條底對應的高除以2就是三角形增加的面積，可以求出高是4米，原來底長8米，就能求出原來三角形花圃的面積是8×4÷2=16（平方米）。

這樣的練習，能夠有效復習長方形、正方形和三角形面積的有關知識，也能使學生體驗畫圖策略“化模糊為清晰”的價值，形成利用圖形解決數學問題的意識，感悟和體會“數形結合”思想。

數形結合作為一種重要的數學思想，不僅是小學數學教材編排的一個重要特點，更是解決數學問題常用的方法。在教學過程中能夠化解難點，為學生提供恰當的直觀材料，幫助學生迅速找到解決問題的方法。教師應著眼于學生數學發展的全局，在平時的教學過程中，有針對性地滲透數形結合思想，提升學生的數學素養。

（作者單位：福建省廈門市集美區杏北小學 本專輯責任編輯：宋曉穎 念育琛）