破解含參不等式恒成立問題的三個妙招

劉玲玲

含參不等式恒成立問題一般較為復雜，通常要根據題意找到使不等式恒成立的條件，據此建立關系式，才能順利求得問題的答案.此外，需靈活運用函數思想、分類討論思想、數形結合思想和轉化思想來輔助解題.下面，筆者結合實例，探討解答含參不等式恒成立問題的三個妙招.

一、分離參數

分離參數法是求解含參不等式恒成立問題的常用方法.運用分離參數法求解含參不等式恒成立問題，需先將不等式變形，使得參數和變量分離，得到形如f（x）>a或f（x）min或a>f（x）_max，解該不等式，即可求得參數a的取值范圍.此種方法一般適用于解答參數與變量易于分離的含參不等式恒成立問題.

要使不等式恒成立，需使a>（xlnx-x³）_max，

令g（x）=xlnx-x³，可得g′（x）=1+lnx-3x²，

所以g′（x）在（1，+∞）上單調遞減，

所以g′（x）

則g（x）在（1，+∞）上單調遞減，

可得g（x）

二、變更主元

若已知含參不等式恒成立問題中參數的取值范圍，則可運用變更主元法來解題.將已知取值范圍的變量作為參數，將參數視為主元，通過變更主元，把問題轉化為關于參數的不等式恒成立問題，進而根據已知變量的取值范圍，求得參數的取值范圍.

解：由于函數y=3^x是增函數，

設f（x）=x²+ax+2-2x-a+1，

貝當a∈[-1，1]時，f（a）>0，

解得x<0或x>2，

所以x的取值范圍為x∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

將參數a視為主元，將變量X視為參數，通過變更主元，將問題轉化為當a∈[-1，1]時，f（x）=x²+ax+2-2x-a+1>0恒成立的問題，然后利用二次函數的圖象和性質，討論當a∈[-1，1]時，a²+ax+2-2x- a+1=0的根的分布情況，建立新不等式，即可求得x的取值范圍.運用主元變更法，能夠使題目最終轉化為解簡單不等式的問題.

三、采用判別式法

例3.若……