巧構函數，妙證不等式

陳冰

對于較為復雜的不等式，如不等式中含有指數式、對數式、根式、絕對值、復合函數式等，我們常用構造函數法來求證.這就需要根據不等式的結構特征，構造合適的函數模型，將不等式證明題轉化為函數最值問題來求解.那么，如何構造出合適的輔助函數？下面介紹構造函數的兩個技巧.

一、通過作差構造函數

有些不等式兩邊的式子均較復雜，此時可嘗試將不等式兩側的式子作差，如將f（x）≤g（x）變形為f（x）-g（x）≤0，再設h（x）=f（x）-g（x），根據函數單調性的定義，或導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，即可根據函數的單調性求得最值，只要證明h（x）_max≤0，即可證明不等式.對于不等式f（x）≥g（x），可將其轉化為證明（f（x）-g（x））_min≥0;對于不等式f（x）>g（x），可將其轉化為證明（f（x）-g（x））_min>0;對于不等式f（x）>g（x），可將其轉化為證明（f（x）-g（x））_max<0.

（1）先證：當x>-1時，ln（x+1）≤x.

所以，當-10，即函數f（x）在（-1，0）上單調遞增;當x>0時，f′（x）<0，即函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，可知函數f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（x）_max=f（0）=0，

因此，當x>-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，

所以ln（x+1）≤x.

當-10時，g′（x）>0，即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，可知函數g（x）在（-1，+∞）上的最小值為g（x）_min=g（0）=0，因此，當x>-1時，g（x）≥g（0）=0，

二、通過換元構造函數

若不等式中含有復合函數式、絕對值、根式以及多次出現的式子，就可引入新變量，將復合函數中的一部分、絕對值符號內部的式子、根號下的式子、多次出現的式子用新變量替換，通過換元來構造函數，判斷出函數的單調性，求得函數的最值，即可證明不等式成立.

即證當x∈（0，+∞）時，ln（x+1）>x²-x³恒成立.

設f（x）=ln（x+1）-x²+x³，

可知當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，即函數f（x）在

（0，+∞）上單調遞增，

所以f（x）>f（0）=0，即ln（x+1）-x²+x³>0，

所以ln（x+1）>x²-x³.

運用構造函數法解答較為復雜的不等式證明問題，關鍵在于根據不等式的結構特點，對不等式進行合理的變形，如作差、換元，以便順利構造出……