例談證明數列不等式問題的三種途徑

王靜靜

除了求數列的通項公式以及求數列的和問題，我們經常還會遇到證明數列不等式問題.證明數列不等式問題具有較強的綜合性，不僅考查了數列知識，還考查了不等式、函數、方程等知識.本文重點討論一下證明數列不等式的三種途徑：采用數學歸納法、放縮不等式、構造函數.

一、采用數學歸納法

數學歸納法主要適用于證明與自然數有關的問題.數列不等式問題中的自變量為自然數集，因而可采用數學歸納法來求解.運用數學歸納法證明數列不等式一般有兩個步驟：

第一步，證明當n=1時，數列不等式成立;

第二步，假設當n=k時數列不等式成立，據此推斷出當n=k+1時數列不等式也成立.

綜合當n=1時和當n=k時的兩種情形，便可歸納出當n∈N⁺時數列不等式成立的結論.

例1.設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=4，a₄=S₃，若S_n+b_n、S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比數列.

（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式;

證明：（1）a_n=2n-2，b_n=n²+2（過程略）;

①當n=1時，c₁=0<2，不等式成立;

則當n=k+1時，

數列{c_n}的通項公式中含有根式、分式，較為復雜，很難快速求得數列的和，證明不等式成立，需采用數學歸納法進行證明.先判斷當n=1時c₁與2的大小關系，證明不等式成立，然后假設當n=k時，數列不等式成立，將其當作已成立的條件，根據不等式的傳遞性推出當n=k+1時數列不等式也成立，從而證明數列不等式成立.

二、放縮不等式

三、構造函數

有些數列不等式較為復雜，此時我們可將數列看作自變量為自然數的特殊函數f（n），將問題轉化為證明f（n）≤c、f（n）≥c（c為常數）.根據函數單調性的定義、數列前后項之間的大小關系判……