空間幾何體體積的幾種求法

喬玉潔　劉錦

求空間幾何體的體積問題側重于考查球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐的結構特征和體積公式. 此類問題對同學們的觀察和空間想象能力有較高的要求.解答此類問題，需仔細觀察空間幾何體，明確其結構特征，對其進行合理的拆分、轉化，選擇合適的體積公式進行求解.下面重點探討一下三種求空間幾何體體積的方法.

一、公式法

例1.（2021年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積是（ ???）.

分析：根據三視圖可得如圖2所示的四棱柱，根據棱柱的體積公式：V=ShS是柱體的底面積、h是柱體的高）可求得四棱柱的體積.

故本題選A.

例2.（2021全國甲卷文科，第19題）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面AA₁B₁B為正方形，如圖3.AB=BC=2，E，F分別為AC和CC₁的中點，BF⊥A₁B₁，求三棱錐F-EBC的體積;

解：如圖4所示，連接AF，

∵AB⊥BB₁，BC⊥AB，BB₁∩BC=B，

∴AB⊥BF，

∴AB²+BC²=AC²

∴AB⊥BC，△ABC為等腰直角三角形，

公式法是求空間幾何體體積的基本方法.在利用公式法求空間幾何體的體積時，需先判斷幾何體的類型，再結合已知條件確定體積公式中的幾何量.在求錐體、柱體、臺體的體積時，需結合已知條件找準底面，并求出高和底面的面積;在計算球的體積時，需找準球的球心，確定球的半徑.

二、等積法

等積法包括等面積法和等體積法.等面積法是通過改變平面圖形的底和高，利用等面積的原理來求面積的方法;等體積法是通過改變幾何體的底面和頂點，利用等體積的原理來求體積的方法.運用等積法求空間幾何體的體積，需先根據題意選擇易于求得面積的底面和……