談談運用反證法解題的步驟

周文帝

假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出相矛盾的結論，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.反證法是一種間接證明方法.當遇到一些不容易或者不能從正面進行證明的題目時，可以嘗試運用反證法，從問題的反面人手來進行證明.反證法彌補了直接證明方法的不足，在解題中應用廣泛，有著不可替代的重要作用.

運用反證法解題的步驟如下：

第三步，得出結論.斷定產生矛盾的原因在于開始所作的假設不成立，于是結論q成立，從而間接地證明了命題p?q為真命題.

反證法常適用于證明否定性命題、存在性命題以及含有“至多“至少“唯一”等字眼的命題.

下面舉例說明.

例1.已知點A、B、C三點在同一條直線上，求證：過A、B、C三點不能畫圓.

證明：假設經過A、B、C三點可以畫圓，如圖1所示，

設此圓的圓心為O，那么A、B、C三點中的任意兩點的連線就是圓O的弦，

根據垂徑定理可知，。不僅在AB的中垂線OM上，還在BC的中垂線ON上，

那么過點O有兩條直線OM與ON均與AC垂直，顯然，這與垂直定理不相符，所以這個假設不成立，則過A、B、C三點不能畫圓.

直接證明本題較為困難，不妨從其反面入手，采用反證法進行求證.首先假設過A、B、C三點能畫圓，將其作為已知條件，根據垂徑定理和三點共線的公理進行推導，得出相矛盾的結論，即可證明結論.

可得a²=2b²，所以a²為偶數，

因此a也一定是偶數，

設存在自然數c，使得a=2c，

則a²=4c²，則2c²=b²，

由于b²是偶數，所以b也是偶數，

可得a，b均為偶數，這與a，b互質……