基于核心素養的“二項式定理”探究式教學的實踐與思考

摘 要：基于核心素養的探究式教學，需要結合學生學習的最近發展區，設計合理的教學方案，把握教材底蘊，把握教學內容的本質.本文以“二項式定理”探究式教學為例，以問題探究的形式，活化數學教學，滲透數學思想方法，提升學生的核心素養.

關鍵詞：核心素養;二項式定理;探究式教學

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）27-0014-03

1 問題的提出

有些學生常常以記結論，套公式的方式來學習數學知識，有的教師也常常在課堂教學中告訴學生大量的解題技巧，學生經過模仿性的訓練似乎也掌握了技巧，但在考場上，卻常常“找不到解決問題的入手點”.究其原因，筆者以為主要是教師在傳授數學知識和學生在學習數學知識的過程中不重視知識的形成過程，沒有做到真正的理解數學，理解數學知識的三重境界，知其然，知其所以然，何由以知其所以然.這不僅是數學教師專業化發展的基石，是數學教學質量的根本保證，也是衡量學生是否理解數學的依據.本課例遵循學生的認知規律，由特殊到一般，由感性到理性，重視學生的參與過程，以“問題”為主線來設計教學情境，不斷地向學生提供參與數學活動的機會，引導學生從直觀上感知二項式定理系數變化的特點，幫助學生在自主探究和合作交流過程中真正理解和體會二項式定理的形成過程，用心打造出一個充滿智慧的數學課堂.

2 教學分析

2.1 學情分析

本節課是人教A版《數學》選擇性必修第三冊，第六章第三節第一課時，針對的是高二學生.從知識儲備來看，通過前面的排列組合知識的學習，學生對分類與分步的概念有了本質的認識;從方法積累來看，學生有從特殊到一般的基本活動經驗; 學生對二項式定理的困惑主要有兩點，一個是公式本身很抽象.另一個是公式來得很突兀，學生不理解為什么課本先用多項式展開，看出每一項的系數，再把這個系數用組合知識進行解釋.

2.2 教學目標

（1）利用計數原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數原理加以證明;

（2）通過經歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數學發現過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數學思想的應用能力.2.3 教學重難點

（1）教學重點 二項式定理的形成.

（2）教學難點 二項式定理的形成.

3 探究式教學實踐

3.1 探究第一波“投石問路”.

采用特殊到一般的不完全歸納法得到公式，從直觀上感知知識的形成.

問題1 請寫出下列式子的展開式，并說出展開的方法.

①寫出a+b2的展開式？

②寫出a+b3的展開式？

③寫出a+b4的展開式？

設計意圖：引導學生直觀感知展開項的各種類型，設計易于學生操作的展開式，由淺入深，環環相扣，幫助學生打通受阻的思維.

問題2 ?請用觀察法找出以上三個展開式的規律，并猜想a+b5的展開式.

追問：觀察的角度有哪些？

學生1 觀察展開式的項數，次數和系數.

學生2 根據a+b2的展開式得到三項，a+b3的展開式得到四項，a+b4的展開式得到五項，可猜想a+b5展開式為六項.

學生3 ?根據a+b2的展開式中每個單項式的次數為二次，a+b3的展開式中每個單項式的次數為三次，a+b4的展開式中每個單項式的次數為四次，可猜想a+b5展開式中每個單項式的次數為五次.

學生4 猜想a+b5展開式，我只能說出其中的兩項a5和b5，并不能全部回答出來所有的項，因為覺得其它項的系數和字母的次數很麻煩.

設計意圖：從已有的知識儲備入手，引導學生在未知境界中依靠已有的知識，經驗和思維，通過實踐活動觀察、歸納、猜想，討論驗證來解決問題，使學生明確數學思維的方向，問題的分析和解決，對所學的內容心中有數，提高學習的興趣和欲望，提升數學邏輯推理能力，發展學生核心素養.

問題3 系數收集后如何整理和分析并且根據分析結果做出推斷？

學生5 橫向有序排列：1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，沒有發現規律.

學生6 縱向有序排列如圖1，沒有發現規律.

教師：做學問需要想象力，老師給一個圖片（金字塔圖片），請同學們想一想，還可以怎么整理收集到的系數.

學生7 ?排列成金字塔形狀，可發現1+2=3，1+3=4，3+3=6.

這時及時介紹數學文化，在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中用如圖2的三角形解釋二項和的乘方規律.

設計意圖：由于學生是根據自己已有的知識經驗來建構新的知識，學生由于知識方法儲備不足，或者由于思考的問題過于抽象，或者由于運算過于復雜，常常產生思維障礙，教師需要給學生一定探究方向，通過問題導學，引導學生帶著問題去觀察展開式，引發思考積極參與互動，不斷地向學生提供參與數學活動的機會，說出自己的見解，引導學生從直觀上感知二項式定理系數變化的特點，提升學生的數學運算、數據分析的核心素養.

3.2? 探究第二波“他山之石，可以攻玉”.利用組合原理推導公式.

問題4 能否換一個角度找系數的規律.

（經歷剛才的探索，學生的探究欲望很高，但不知從何入手，這時引導學生做實驗.）

實驗操作1? 分組教學，每個小組都有2個盒子，每個盒子中有紅球a個，白球b個，每次從2個盒子中各取一個球，小組討論，完成下列問題.

①摸出的白球恰好0個，有種方法？

②摸出的白球恰好1個，有種方法？

③摸出的白球恰好2個，有種方法？

實驗操作2? 分組教學，每個小組都有3個盒子，每個盒子中有紅球a個，白球b個，每次從3個盒子中各取一個球，小組討論，完成下列問題.

①摸出的白球恰好0個，有種方法？

②摸出的白球恰好1個，有種方法？

③摸出的白球恰好2個，有種方法？

④摸出的白球恰好3個，有種方法？

問題5 通過兩個實驗，你發現了什么？

學生8 從實驗操作1得到的數據1，2，1恰好是a+b2的展開式的系數，從實驗操作2得到的數據1，3，3，1恰好是a+b3的展開式的系數，

學生9 把a+b3中的a當成紅球，b當成白球，展開式的系數就是摸出的白球恰好多少個的種數.

學生10 根據摸球原理，a+bn的展開式的某一項就是摸出的白球恰好多少個的情況，例如a+b4摸出的白球恰好2個，則展開式的某一項就是C24a2b2=6a2b2.

設計意圖：引導學生從已有的知識歸納猜想出一般性的結論，學生對自己總結歸納的結論會留下深刻的印象，產生持久效應，而且能緊扣課堂教學目標，明確數學的思維方向，提高學習的自主性，提升直觀想象素養.

問題6 能否利用上述原理將a+b4和a+b5按字母a的降冪排列展開.

設計意圖：將乘法運算轉化成摸球的模型，通過前面所學的排列組合的知識，根據多項式相乘的運算法則，探索二項式定理的構造性證明，體會運算法則的作用，感知運算是一種嚴格的邏輯推理，通過一般性運算可以發現和提出命題，掌握推理的形式和規則，探索和表述論證過程，發展數學運算素養.

問題7 能否利用上述原理將a+bn按字母a的降冪排列展開.

教師追問1：二項式定理中為什么n∈N*，等號右邊的展開式共有多少項，什么叫做二項式系數.

教師追問2：二項展開式的第幾項的二項式系數是Crn，所有的二項式系數與a，b的取值是否有關關，一定是正數嗎？

教師追問3：二項展開式的通項是什么？

設計意圖：學生通過從特殊到一般的歸納、猜想，準確把握本節課的內容性質，通過不斷的探索發現、體驗感悟，突出直觀想象素養，培養學生的理性思維能力，形成由感性到理性的升華，感悟數學本質，培養創新精神和實踐能力.

3.3 知識運用

練習1 （x+2）6的展開式中x3的系數是（? ）.

A.20? B.40 ?C.80? D.160

練習2 （2015全國高考試題）x2+x+y5的展開式中，x5y2的系數為.

練習3 x+4x-44的展開式中的常數項為.

4 教學反思

章建躍博士提出，上好一堂課，數學教師必須要理解數學，理解學生，理解教學，理解技術，特別是內容所反映的數學思想方法的理解水平，決定了理解數學的高度，決定了教學所能達到的水平和效果，同時也決定了學生對其所學重點內容應達到的理解程度.學生對數學的概念、公式及定理的掌握大多呈現這樣三種情況：告訴我的知識，我會忘記;分析給我聽的知識，我會理解;讓我參與建構的知識我會留下很深的印象.

美國心理學家布魯納指出，教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動思維，思維永遠是問題的開始，從已有的知識儲備入手，引導學生在未知境界中依靠已有的知識，經驗和思維實踐活動觀察歸納猜想，討論驗證來解決問題，教師在課堂教學過程中，通過精心設計問題，不斷為學生搭建思維平臺，使學生通過問題的提出，對所學的內容心中有數，不斷提高學習的興趣和欲望，提升數學邏輯推理能力，可大大提高學生學習數學的興趣和效率，提高學生數學思維廣度和深度，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]李大勇.中學數學解題論導引[M].合肥：合肥工業大學出版社.

[2] 張廳劍.數學概念教學的誤區與對策 [J].中學數學教學參考，2016（12）：13-15.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡介：陳定火（1975.5-），男，福建省永安人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：本文系2021年福州市教育科學研究課題“基于核心素養的高中數學探究式教學模式在中等生的實踐研究”課題編號FZ2021GH051的階段性成果.