以“問題鏈”為主線，培養初中數學高階思維

林志強

［摘 ?要］ 高階思維本質指的是教師帶領著學生發生在較高認知水平層次上的心智活動和多元認知能力. 因此，基于對高階思維的認識和了解，結合數學學科特點，文章認為，初中數學高階思維能力主要包括認知體系完善能力、應用能力、決策能力、辨析能力和創新能力. 在“直線和圓的位置關系”教學中，體現了以“問題鏈”為主線的教學方式在實踐中對高階思維能力的培養是可行且有效的. 這些高階思維能力的形成和發展，不僅是長期的教學目標，更是師生實現自我突破的要求和挑戰.

［關鍵詞］ 高階思維；初中數學；問題鏈；直線和圓的位置關系

隨著社會的發展，應試教育教學體系下培養出來的學生已難以滿足社會發展的剛性需求. 在眾多領域上對人才的需求呈現出了多元化、靈活性的特征，這對學生的心智活動和多元認知能力的發展是一種極大的考驗. 基于這一客觀存在的現象，在教育教學過程中培養學生的高階思維成了教師必須完成的工作. 人的認知是在一步步地探索中不斷發展的，對于初中學生而言，如果小學是他們認知的起點，那么初中則是他們基于認知鍛煉多元認知能力的良好時段，特別是針對具有發散性、邏輯性、抽象性且有運算、數據分析、空間想象等特征體現的數學學科，因此對學生高階思維的培養可以說是每位初中數學教師的重大挑戰. 這樣的挑戰主要包含著以下幾個方面：一是對高階思維的認識和了解；二是針對初中數學高階思維能力培養的教學設計；三是針對初中數學高階思維能力培養的實踐方式. 針對這三個方面，筆者以“問題鏈”下的“直線和圓的位置關系”教學為例進行了相應的教學探討.

對高階思維的認識和了解

1. 高階思維的界定與基本技能

從目前的多數研究文獻來看，對于高階思維，許多學者對其有不同的界定和理解，但是從這些文獻中也可以看出總體框架上對高階思維的認同，而這樣的總體框架主要來自教育家本杰明·布魯姆（Benjamin Bloom，1913—1999）的著作《教育目標分類學》.在《教育目標分類學》的認知領域中，布魯姆提出了六個層次的“教育目標”（如圖1所示），體現了“學習有深淺層次之分”的觀點，也引出了研究者對思維之低階和高階的界定. 可以說，這是目前多數教育者較為認同的界定標準. 但筆者認為，低階思維同高階思維的界定之線并非它們關系的斷絕之線，而應該是它們相互關聯之橋. 從教育目標各層次的基本技能來看，低階思維應該是高階思維的奠基，“學習深淺層次之分”并非學生思維的輕重之分、純粹的高低之分，而應該是學生思維形成和發展的時段和任務之分. 現實的高階思維很可能成為下一學習時段和學習任務的低階思維，它們的角色會隨著學習時段和學習任務的不同而相互轉換，在整個學習過程中相互成為思維螺旋上升的奠基. 因此筆者認為，在培養學生高階思維能力的同時，不能忽略作為奠基的“低階思維”，只有在扎實的基礎之上才有可能形成和發展較高認知水平層次上的心智活動和多元認知能力.

2. 高階思維能力的構成

對高階思維能力的理解，不少學者都有自己的看法，比如布魯姆認為，高階思維能力主要包括創新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力；杜威（John Dewey，1859—1952）認為，高階思維是由“難題和疑問”或“一些困惑、混淆或懷疑”引發的，高階思維的發生是“反思—問題生產—探究、批判—解決問題的過程”；R·J·斯騰伯格（Robert.J. Sternberg，1949—）提出了“智力三元論”，將智力（思維）視為三種成分組成——組合性智力、經驗性智力、實用性智力（具體見表1），對三種智力（思維）的測驗數據體現著智力（思維）的高低差異；羅伯特·恩尼斯（Robert H.Ennis）教授認為，批判性思維（高階思維）是“針對相信什么或做什么決定而進行的合理的反省思維”，而且對批判性思維者的體現做了一個精簡的標準［1］. 根據這些學者的研究和分析，結合初中學生在數學學習中的思維情況，筆者認為，高階思維能力主要由五大能力構成，如表2所示. 由上述可知，這五大高階思維能力在不同時段、不同任務、基本技能、體現上是可以重復的，它們的形成和發展代表著在一個學習時段或一個學習任務中完整的、系統的高階思維能力培養的實現. 因此，對學生高階思維能力的培養過程可以簡單概括為：以前一學習時段或學習任務為基礎和起點，通過回顧已有知識和經驗，在學習過程中形成和發展理解能力、應用能力，完善認知體系，最終得以決策、辨析和創新.

當然，要完善復雜的認知體系，并構成上述的五大高階思維能力不是一蹴而就的，需要一個有引導性、層次性、系統化的教學方式，而“問題鏈”正是這樣的教學方式. “問題鏈”是架在低階思維和高階思維之間、認知體系完善之前和之后的橋梁，能夠一步步地引導學生去探究問題，發展學生看待問題的批判性思維和決策領導能力［2］；“問題鏈”能夠體現學生獨立思考的過程，把零散的知識進行系統化、理論化的梳理和整合，有助于學生形成和發展自主學習、自主思考和自主探究的能力.

文章將結合龍海區數學名師工作室送教的“直線和圓的位置關系”的教學設計，談談“問題鏈”教學方式對初中數學高階思維培養的實踐體現.

“問題鏈”教學方式對初中數學高階思維培養的實踐體現

1. 提出牽引式問題，引導學生回憶知識、思考主題

牽引式問題也可以稱為引導式問題，是課程中引導學生快速回憶知識和經驗，將學生引入課程主題的教學方式. 牽引式問題有主次之分，對問題的細致劃分需要教師進行把控，能否通過問題讓學生快速明確需要思考的目標以及需要應用的知識和經驗，是對問題進行創設和篩選的標準. 在初中數學教學中，對直線和圓的位置關系的探索是在學習了點和圓的位置關系的基礎上進行的，學生擁有一點的探索經驗和基礎知識，所以在“直線和圓的位置關系”教學中，可以設置以下問題：

問題1：說說點和圓的位置關系，有怎樣的特征？

問題2：觀察三幅太陽升起的照片，如果把地平線看成一條直線，把太陽看成一個圓，它們有怎樣的位置關系？

這樣兩個牽引式問題把點和圓的位置關系進行了遷移，讓學生對直線和圓的位置關系有了一個初步的判斷. 兩個問題的契合讓學生在回憶知識和經驗的基礎上開始聯想和判斷直線和圓的位置關系，甚至是直線和其他曲線的位置關系. 通過牽引式問題的設置，學生不僅打開了自己的發散性思維，對“位置關系”的猜想、梳理和統一也是對邏輯思維的鍛煉，是學生認知體系完善的必經之路.

2. 多個角度發掘問題，拓寬學生的思維廣度

在探究學習的過程中，可以圍繞課程主題從多個角度發掘問題，不僅能拓寬學生的思維廣度，還能避免學生思維定式的發生. 從問題的多個角度出發，可以引導學生利用多種方法思考問題和解決問題，多方面觀察問題和分析問題，以及對多個結論進行猜想和驗證，夯實學生對高階思維能力中基本技能的學習和掌握.

問題3：我們怎樣判斷和驗證直線和圓的位置關系呢？

（1）從交點的個數出發：直線和圓沒有交點、有一個交點和有兩個交點時，直線和圓的位置關系分別是什么？

（2）從圓心和直線的距離出發：直線和圓相離、相切、相交時，圓心和直線的距離分別是多少？

（3）從方程出發：怎樣用直線方程和圓方程判斷它們的位置關系？

利用從多個角度發掘的問題，讓學生自主選擇適合自己的角度和方式去開展探究，揭開蒙在問題本質身上的面紗，不僅可以幫助學生更加深刻地理解直線和圓的位置關系的本質，而且還能鍛煉學生的判斷能力和決策能力；對于認知層次水平更高的學生，在探究小組的帶領中、協調中，其組織能力和辨析能力也將更加強化. 其實，除多角度發掘問題外，教師還可以向學生提供多種實驗工具和實驗方案供學生自主選擇，比如通過硬幣、圓形卡紙、直尺、圓規、直線、鉛筆、圖釘、計算器等工具畫圓或畫直線，在平移直線或圓的過程中利用得到的數據判斷直線和圓的位置關系. 整個過程是學生主動探究的過程，他們能解釋自己通過選擇所創造出的條件，以及由條件得出的結論，避免了教師直接講解結論而引發的枯燥情緒和畏難情緒. 不僅如此，借助實驗工具和實驗方案還可以提高學生的動手能力、決策能力和創造能力.

3. 由表及里，多層次問題概括本質屬性

通過對一個個問題的解析，學生經歷了一個由淺入深、由表及里的理解過程. 在這個過程中，通過討論和反思，學生逐漸意識到，僅由圖形來判斷和證明直線和圓的位置關系是不精準的，需要利用具體的數據進行說明，前述問題中對具體數據的積累和分享便為學生繼續探究直線和圓的位置關系的計算公式打下了堅實的基礎.

問題4：（1）能否根據基本概念來判斷直線和圓的位置關系？（2）已知直線和圓心的距離，以及圓的半徑，你能判斷它們的位置關系嗎？（3）是否還有另外的方法可以判斷直線與圓的位置關系？（4）用直線方程和圓方程判斷它們的位置關系的步驟是什么？（5）你能用字母或數據表明直線和圓的位置關系嗎？

在“問題鏈”的設置中，一定要由淺入深、由表及里，設置不同層次、不同水平的問題，越往深處，越有難度. 這些問題是基礎問題向深度問題的過渡，能夠檢測學生掌握知識的程度. 當然，雖然問題設置的層次性不同，不同學生的選擇也是不同的，但教師一定要激勵學生一步一步地對更深層次的問題進行理解和解析，鍛煉和體現學生更多的合作能力、表達能力和計算能力.

4. 質疑辨析，培養批判性思維

《中國學生發展核心素養》中包含了“批判質疑”素養，批判性思維被納入了學生發展核心素養中. 因此在教學過程中，一定不能忽略具有批判性的問題. “批判質疑”既能幫助學生發現問題、提出問題，并從不同角度思考問題，探索解決方案；也能促使學生調動經驗，激發他們獨立思考，提高分析質疑的思維；還能激發學生產生新的學習動機，促使他們解決問題，改進現狀.

問題5：直線和圓真的只存在三種位置關系嗎？有沒有其他位置關系存在的可能？

通過質疑，大大激發學生思考問題的角度、廣度和深度，讓學生面對結論敢于質疑、敢于分析，在得到最終的結果（真理）前，學生可以暢所欲言，自由表達自己的想法，由教師和同學進行相關解答，師生一起探討直線和圓的位置關系. 通過辨析，教導學生要實事求是、探索真理，看待問題不能盲從和輕信，要培養自己的批判性思維.

5. 發展變化性問題，增強學生思考問題的靈活性

問題不會是一成不變的，在新的條件和情況下，問題會根據不同的設定進行轉化. 所以設置問題時要考慮問題的靈活變化，讓學生養成和提高靈敏度去適應新的情況和不同的環境. 在多方面的指導下去體會數學思維的轉化，減少學生對某一個問題的認知差異. 通過問題的變化來拓寬學生思考的角度和思維的變化程度，讓學生能夠依照自身的實際情況在解決問題時去理解和融合所學知識. 但是問題的變化要避免脫離實際，要把知識融合和思維變化掌控在學生可接受的范圍之內，這樣才會有更加良好的效果.

問題6：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，AB=5 cm，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關系？為什么？如果r=2 cm或r=2.4 cm或r=3 cm呢？

問題7：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，AB=5 cm，以C為圓心，r為半徑的圓與線段AB有兩個交點時，r的取值范圍是多少？沒有交點或只有一個交點呢？

在學習直線和圓的位置關系時，將幾何上的直觀理解轉化為數字上的抽象表達，這其實就是幾種數學核心素養的融合和整合. 在知識沒有完全內化之前，學生還無法將幾何直觀和數字抽象聯系起來. 但是通過變化性問題的設置，引導學生一步一步地將知識內化，完善并形成新的認知體系，這為學生后續面對新的問題時強化高階思維能力打下了堅實的基礎.

6. 設置猜想性問題，鍛煉創新思維

通過猜想性問題的設置，首先讓學生熟悉并掌握幾種常見的猜想方法，比如歸納猜想、特殊值猜想、實驗猜想、類比猜想等，然后引導學生利用這些猜想方法在解決問題的過程中猜想數字規律、圖形規律、數量關系、過程變化、概念結論等，讓學生逐漸形成并發展自主探究的能力. 猜想性問題可以說是學生創新的基礎，它不僅能鍛煉學生的創新思維，還能幫助學生鞏固和總結所學知識，讓學生在未來的數學學習的道路上有策略、有研究、有思考，不斷完善認知體系. 猶如前文所說，低階思維和高階思維的角色會隨著學習時段和學習任務的不同而相互變化，形成從低階思維向高階思維的螺旋上升，猜想性問題對創新思維的培養正是下一學習時段或學習任務對高階思維培養的開始.

問題8：學習了直線和圓的位置關系后，你們有沒有想一想其他圖形存在的位置關系呢？比如圓和圓的位置關系.

提出這個問題的目的比較明確，為下節課學習圓和圓的位置關系提前準備了思考的時間和空間. 不同的學生肯定會有不同的答案，但學生一定會利用得到的經驗有步驟、有條理地去思考兩圓的位置關系，有更多能力和探知欲的學生還會去思考其他圖形可能存在的位置關系，這將為學生更深層次地思維打開大門.

在“直線和圓的位置關系”教學中，問題被安排和穿插在各個教學環節中，體現了以“問題鏈”為主線的教學方式在實踐中對高階思維的培養是可行且有效的. 對高階思維的認識和了解，以及對高階思維同教學課程的融合，是教師創設“問題鏈”必備的教學能力的體現. 因此“問題鏈”的創設不僅為學生高階思維的培養開辟了一條寬大的路徑，還為教師的考察能力、判斷能力、教學設計能力、教學方案實施能力的自我突破提出了更高的要求和挑戰，這值得每位數學教師的探究和反思. 只有教師的教學能力提高了，才能為學生高階思維能力的發展提供保障！

參考文獻：

［1］ 羅伯特·恩尼斯. 批判性思維：反思與展望［M］. 仲海霞，譯. 工業和信息化教育，2014.

［2］ 陳燁，孫天山. “置疑、設問、對話”高階思維教學的策略研究——以“金屬鈉的性質與應用”教學為例［J］. 化學教與學，2019（01）：35-37.