培養數學運算能力 落實數學核心素養

馬海嬌

[摘 ?要] 在高中數學教學中，部分教師為了追求“容量和速度”，常常形成思路后就不了了之，忽視了學生運算能力的培養. 這樣不僅影響了學生成績的提升，而且限制了學生思維能力的發展，影響了學生數學核心素養的落實. 在實際教學中，教師應把培養學生的運算能力落到實處，通過適時講解、適當練習、有效思考，切實培養學生的運算能力，提升學生的解題效率.

[關鍵詞] 運算能力;思維能力;解題效率;核心素養

會運算是數學學習的基本任務之一，是學生在數學學習過程中必須養成的基本素質和能力. 運算能力的高低直接關系著解決問題的效果，因此對運算能力的培養應引起師生的共同關注. 不過在現實教學中發現，數學運算并沒有引起師生的高度重視，不少教師認為數學運算是不需要思考的，思維價值較低，然課堂時間是有限的，應該將精力放在探尋解決問題的思路上，因此教學中教師常常帶領學生找到解題思路后就草草了事. 由于教師的不重視自然也就難以引起學生重視，很多學生認為只要記住運算公式和運算法則，考試時能夠認真計算就可以了. 為了做更多的題，大多數學生很少將運算進行到底，常常用計算器代替心算和筆算，最終使得學生算理混亂、算法模糊，考試時常因運算出現問題而失分，影響了考試效果. 筆者結合一些具體案例，淺談幾點對數學運算能力培養的認識，以期拋磚引玉，引起共鳴.

[?]抓基礎重落實，培養運算能力的前提

熟練地、準確地掌握數學運算所需的概念、公式、定理、法則是培養學生運算能力的前提. 教師需要從解題過程中發現學生運算錯誤的癥結，以便采取有針對性的教學策略加以引導，從而達到梳理、鞏固和強化的目的. 另外，教師要鼓勵學生將運算進行到底，切勿走馬觀花，以此培養學生良好的數學解題習慣.

例1 已知數列{a}是等比數列，其前n項和為S，若S，S，S成等差數列，則公比q的值為______.

解此題時，大多數學生直接從等比數列的前n項和公式出發，試圖通過“硬算”來解決，但因為運算過程煩瑣，最終無功而返. 另外，在解題中發現，部分學生應用公式時容易忽視公比q=1的情形，可見他們對概念的理解還不夠深刻.

為了幫助學生順利解決問題，教師引導如下：列出等式2S=S+S，回顧數列前n項和公式，于是有2S=S+a+S+a+a，整理得2a+a=0，所以q=-2. 這樣應用概念靈活地化解了復雜的運算，讓學生體驗到了數學概念在運算中的價值.

對于學生運算能力的培養并不是讓學生經歷多么復雜的運算過程，而是讓學生能夠靈活應用知識和經驗巧妙地解決問題. 在解題過程中，要避免盲目運算，應多觀察、多分析，靈活調整運算方案，以此高效解決問題.

[?]突出數學思想方法，培養運算能力的關鍵

雖然數學問題是抽象且復雜的，但是數學問題中蘊含著一定的規律、方法. 在解題教學中，應重視學生觀察能力、分析能力、推理論證能力等綜合能力的培養，突出數形結合、由特殊到一般和由一般到特殊等數學思想方法的價值，培養學生良好的解題習慣. 數學思想方法是數學發展和創造的源泉，其關系著學生對數學知識的理解層次，是培養學生運算能力的關鍵.

例2 設t∈R，若x>0時，均有（tx-1）[x2-（t+1）x-1]≥0，則實數t的值為______.

對于例2，若單純從解不等式的角度去思考，則需要進行分類討論，對中間環節的理解以及涉及的運算都比較煩瑣，對運算能力的要求較高. 因此解題時不妨引導學生多觀察，從式子的結構特征出發進行解決：不等式左邊為兩個因式相乘，由此可以將其轉化為對應的函數，借助數形結合思想使問題變得直觀起來，這樣解題自然就變得流暢了. 令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，設g（x）的兩個零點是x1，x2，且x<00，f（x）的零點也為x時，不等式恒成立，將x=代入g（x）=0，得

t-

（t+1）=0，故t=.

從以上分析過程可以看出，對于同一問題可以有不同的解決方案，不同的解決方案對運算量的要求有所不同，因此在解題教學中，教師要告訴學生不要急于落筆，應多觀察、多分析，以便學生發現適合自己的最優解題方案，有效提高解題效率. 同時，在解題教學中，講授知識的同時應關注數學思想方法的訓練和培養，這對學生的數學學習和數學研究都有重要的指導意義，有利于提升教學品質和學生的數學素養.

[?]強化目標意識，是提升運算能力的重要舉措

無論是平時測驗還是大考，都經常發現試卷上有很多刪改的痕跡，出現這一現象的主因就是學生在解題時沒有明確的運算方向和運算路徑，常常是想到哪里就算到哪里，最終不僅浪費了時間，而且可能一無所獲. 因此，在解題教學中，必須強化學生的目標意識，這樣在目標的指引下才能少走彎路，有效提高解題效率.

例3 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的左頂點為A，右焦點為F（c，0），點P（x，y）為橢圓上一點，且PA⊥PF. 求證：以F為圓心，FP為半徑的圓與橢圓的右準線x=相切.

題目給出后，學生很快寫出了如下解題過程：由PA⊥PF，得·=-1，即y=-（x+a）（x-c）①. 又+=1②，聯立①②，消去y，整理得關于x的二次方程（b2-a2）x-a2（a-c）x+a3c-a2b2=0. 下一步學生準備利用求根公式解方程，但是這無疑陷入了復雜運算，很多學生計算到這里望而卻步. 教師及時捕捉到了學生的問題后，讓學生思考這樣兩個問題：①你到底要求什么？②怎么求？這樣引導學生深入觀察需要研究的問題，及時調整運算路徑，以便達成目標.

通過深入觀察易于發現，以AF為直徑的圓與橢圓除了點P這個公共點外，還有一個公共點A（-a，0）. 這樣在關于x的二次方程中，一定有（x+a）這個因式，于是消去y后得b2x+a2[-（x+a）（x-c）]-a2b2=0，即b2（x+a）（x-a）+a2[-（x+a）（x-c）]=0，有（x+a）

x+

=0，解得x=或x=-a（舍去）.

這樣，在解題時放慢腳步，挖掘特征，讓學生擺脫復雜的運算，不僅讓學生的解題技巧得以提高，而且讓學生的思維水平也獲得了較大程度的提升. 可見，想得好才能算得好，因此在運算前設計好運算路徑，可以有效規避復雜運算所帶來的錯解風險，有利于提高解題準確率.

[?]樹立求簡意識，是提升解題效率的“助推器”

數學運算除了關注運算的結果外，還要重視運算方向的確定和運算路徑的選擇. 在解題教學中，除了要求結果正確外，還應讓學生通過思考、探索、交流等多種途徑去探尋其他的解決方案，讓學生通過對比發現最優的解決方案，以此豐富學生的解題經驗，提高解題效率.

例4 已知過原點O的動直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A，B，若A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為________.

本題有一定難度，解題時教師應鼓勵學生通過合作探究找到不同的解決方案，以此優化學生認知.

解法1：根據已知，設動直線l的方程為y=kx，代入圓方程得（1+k2）x2-6x+5=0. 又點A恰為線段OB的中點，所以x=2x. 利用求根公式得x·x=，x+x=，計算得k=，求得圓心C（3，0）到直線l的距離為.

解法1的思維直接，但是運算量較大，對學生的運算準確率要求較高，可操作性不強，大多數學生很難正確得到答案，即使最終得到答案也會花費較多時間. 本題是一個小題，若在考試中這樣大費周章地運算勢必會影響后面的考試，因此解題時有必要尋找其他的解決方案，樹立求簡意識.

分析以上解題過程后，不妨換個思路：

解法2：設點A（x，y），則點B（2x，2y），代入圓的方程得x

+y

-6x0+5=0，

4x

+4y

-12x0+5=0，解得點A

，

. 因此圓心C（3，0）到直線l：y=x的距離為.

解法2表面上引入了兩個變量，但是其充分利用了“A恰為線段OB的中點”和“點A，B為圓兩點”這兩個已知條件，這樣不僅快速地形成了解題思路，而且簡化了運算過程，有利于提高解題效率和解題準確率.

在教學中，教師要多鼓勵學生從不同的角度去思考和解決問題，通過一題多解不僅可以鍛煉學生的思維，提高學生的思維水平，而且可以優化運算過程，提高學生的數學運算能力.

當然，由于個體差異的存在，學生的解題習慣也會有所不同，因此追求運算簡化的同時，也要關注學生個體的思維水平，引導學生找到適合自己的解題之路.

總之，教學中教師要關注學生的運算能力，把運算能力的培養滲透到每道試題的解答中，從而通過適時引導、講解、訓練，切實有效地提高學生的運算能力，落實其數學素養.