指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度思維教學(xué)淺析

陳玉寶

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會的必備品格和關(guān)鍵能力為根本追求，以落實學(xué)科核心素養(yǎng)為根本目標. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識體系，以變式練習(xí)、典型試題拓展、問題意識培養(yǎng)、提煉總結(jié)等方式提升學(xué)生的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的深度思維，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想，使核心素養(yǎng)落地生根.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；深度思維；教學(xué)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是能夠運用數(shù)學(xué)思想解決問題的能力和品質(zhì)，提升核心素養(yǎng)建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解基礎(chǔ)上. 因此，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地參與學(xué)習(xí)活動，深入分析、思考，激發(fā)深度思維，從而掌握數(shù)學(xué)思想和方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

何謂深度思維與核心素養(yǎng)

深度思維是指高水平的思維活動，表現(xiàn)為深度探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的高水平認知活動，與淺層次和低水平的思維相對. 深度思維的開展有助于學(xué)生獲得新知識與新技能. 在布魯姆的認知分類中，機械的記憶、簡單的理解和低效的應(yīng)用屬于低階思維活動，而對問題進行分析、評價和創(chuàng)造的活動稱為高階思維活動（布魯姆教育目標分類表——認知維度如表1所示）.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等為核心的數(shù)學(xué)品質(zhì)和能力，是個人適應(yīng)社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)可以概括為三個核心要素，即抽象能力、推理能力和建構(gòu)模型的能力. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，發(fā)展這三種能力是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，學(xué)生一般先從自我生活經(jīng)驗出發(fā)形成感性認識，進而從具體的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)知識，轉(zhuǎn)化為理性認識. 從感性認識到理性認識的過程是學(xué)生思維不斷深入、進而提升的過程. 經(jīng)歷了知識的模仿、理解之后，還需要進一步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型進行實際運用，讓學(xué)生在深入思考的過程中會積累活動經(jīng)驗，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，并通過深度思維活動將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)技能轉(zhuǎn)化為個人數(shù)學(xué)素養(yǎng).

激發(fā)深度思維的教學(xué)策略

深度思維活動的展開建立在教學(xué)活動中，要求學(xué)生能夠從多個角度參與問題的分析和討論，感受知識發(fā)生和發(fā)展的過程，并在教師的引導(dǎo)下探索數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)知識體系，掌握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

1. 立足整體思維，建構(gòu)知識體系

數(shù)學(xué)知識前后關(guān)聯(lián)，具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)建構(gòu)整體思維，注重部分與整體的關(guān)系，完善內(nèi)在結(jié)構(gòu)，形成知識體系，并引導(dǎo)學(xué)生形成整體性的眼光，從而在解決問題時靈活運用思維，從不同的角度和層次分析與思考，提升思維能力.

案例1“同底數(shù)冪的乘法”導(dǎo)入.

（1）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些數(shù)的運算？你還記得我們在學(xué)習(xí)時采用了哪些方法嗎？

（2）我們學(xué)過哪些整式運算？類比數(shù)的運算，你能想到我們還會學(xué)習(xí)整式的哪些運算嗎？

（3）探究：請從下面4個整式中任選兩個構(gòu)造乘法運算. 你寫出了哪些算式？你能把你所寫的算式分類嗎？你認為整式的乘法可以分成哪幾種類型？

a2，a3，a3+ab，a+ab.

（4）在單項式與單項式的乘法中，最基本的運算有哪些？

根據(jù)學(xué)生的回答，教師進行總結(jié)并板書：單項式乘法中最基本的運算是am·an，（am）n，（ab）n，這就是今天我們要學(xué)習(xí)的同底數(shù)冪的乘法.

設(shè)計意圖本例的導(dǎo)入中，教師先從整體性的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回顧整式的運算，使學(xué)生感受代數(shù)的學(xué)習(xí)方式，再運用類比方法對整式運算進行整體的結(jié)構(gòu)分類，接著以具體的列式活動使學(xué)生感受同底數(shù)冪學(xué)習(xí)的意義和價值. 這樣的導(dǎo)入方式使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知前已經(jīng)經(jīng)歷了一場深刻的思維活動，體會到了發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的過程，并在潛移默化中滲透了數(shù)學(xué)研究方法，為新知的學(xué)習(xí)奠定了思維基礎(chǔ).

2. 開展問題變式拓展，激發(fā)學(xué)生深入思考

教材中的例題以及課后習(xí)題都是教材編寫者精心挑選出的與本課或者本單元知識點相關(guān)的典型問題，但是這些典型問題一般僅僅與課時內(nèi)容相關(guān)，指向性較為單一，對學(xué)生思維的訓(xùn)練力度不夠. 因此，在教學(xué)中教師可以針對典型試題進行變式和拓展，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度和多種層次去認識和理解知識，從而更加全面地檢驗知識的掌握情況，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和探究能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性.

案例2教材例題（七年級下冊蘇科版）：如圖1所示，在△ABC中，∠A，∠1和∠2的度數(shù)分別是62°，20°和35°，∠BDC的度數(shù)是多少？

變式1在△ABC中，∠A=62°，∠ABC的平分線和∠ACB的平分線相交于點D，∠BDC的度數(shù)是多少？

變式2在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的平分線和∠ACB的平分線相交于點D，請用含n的代數(shù)式表示∠BDC的度數(shù).

變式3在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，請用含n的代數(shù)式表示∠BDC的度數(shù).

變式4在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，請用含n的代數(shù)式表示∠BDC的度數(shù).

設(shè)計意圖典型試題的變式訓(xùn)練是通過題目條件的改變或者結(jié)論的改變把對知識的考查變得更加深刻. 在變式中，教師也可以將問題從特殊形式變?yōu)橐话阈问剑鰪妴栴}的挑戰(zhàn)性. 只有通過深度思考和探究，學(xué)生才能獲得解題思路. 變式訓(xùn)練需建立在學(xué)生已經(jīng)掌握了一般解題方法的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過多角度和多方面的思考，更加靈活地運用知識解決問題，從中體悟數(shù)學(xué)思想和方法，增強學(xué)習(xí)獲得感，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

3. 加強一題多解訓(xùn)練，促進學(xué)生思維生長

數(shù)學(xué)試題的求解思路是靈活多樣的，局限于一種思路會造成學(xué)生思維定式，導(dǎo)致學(xué)生的知識具有局限性. 因此，在教學(xué)中，教師要開展一題多解訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，進一步完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，開闊學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力，提升學(xué)生的智力水平.

案例3如圖2所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標是（6，8），連接AC. x軸上存在點D，使得△ACD是等腰三角形，請求出點D的坐標.

這道題需分三種情況討論：當CD=CA時，點D的坐標為（-6，0）；當AD=CA時，點D的坐標為（-4，0）或（16，0）；當AD=CD時，可以通過下面三種思路來求解.

第一種思路：先求出直線AC的解析式，利用兩條直線相互垂直的代數(shù)意義，求得線段AC垂直平分線的解析式，接著得到它與x軸的交點，即點D的坐標.

第二種思路：設(shè)DO=x，由勾股定理得到DC2=DO2+CO2=DA2，接下來可以通過列方程來求解.

第三種思路：如圖2所示，過點D作DE⊥AC，垂足為E，根據(jù)△DEA與△COA相似，通過列比例式計算DA的長度，從而確定點D的坐標.

設(shè)計意圖一題多解訓(xùn)練能使學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、交流等過程，發(fā)展創(chuàng)新思維能力，能讓學(xué)生從多種解題思路中探尋最佳的解題方法和獨特的解題思路，有助于學(xué)生深刻地理解問題的本質(zhì)，發(fā)展思維的靈活性. 進行一題多解訓(xùn)練時，需要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，所以教師要創(chuàng)設(shè)平等交流的氛圍，鼓勵學(xué)生積極地進行交流和討論，并對學(xué)生的想法進行及時的反饋，從而激發(fā)學(xué)生的探究欲望，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，并在一題多解的思維訓(xùn)練下，不斷提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

4. 培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力，發(fā)展創(chuàng)新意識

發(fā)現(xiàn)問題和提出問題體現(xiàn)了思維發(fā)散和想象的能力，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題的意識，有利于提升學(xué)生的創(chuàng)造能力. 問題是知識的起源，是激發(fā)學(xué)生探究的起點，學(xué)生只有學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，才能思考解決問題的方法，才能刺激自己的思維不斷生長. 在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識，可以在教學(xué)前的預(yù)習(xí)中，也可以在教學(xué)過程中，還可以在課堂的習(xí)題反饋中. 不管在哪個環(huán)節(jié)，教師都應(yīng)精心設(shè)置好問題，通過好問題來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.

案例4含30°角的直角三角形的性質(zhì).

師：如圖3所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，AB=8，求△ABC的面積.

生1：老師剛剛講了要把30°角和直角進行“雙劍合璧”，這個三角形已經(jīng)滿足了一個條件，于是可以過點B作BD⊥AC，垂足為D. 根據(jù)我們剛剛學(xué)習(xí)的定理，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可以得到BD的長度為AB的一半，所以BD=4. 所以△ABC的面積為16.

師：很好. 假如我們把原題中的30°角變成150°，那么結(jié)果發(fā)生了什么變化？請畫圖求解.

生2：由150°角我聯(lián)想到了它的鄰補角為30°，于是同樣地過點B作AC的垂線交CA的延長線于點D（如圖4所示）. 在直角三角形ABD中，∠BAD為30°，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可以得到DB的長為AB的一半，即BD的長為4，因此三角形ABC的面積為16.

生3：現(xiàn)在我有一個疑問，如果兩個等腰三角形的腰長相等，并且頂角互補，那么這兩個三角形的面積一定相等嗎？

生3根據(jù)剛才兩位學(xué)生的解答提出了這樣的問題，雖然這不是這節(jié)課的重點，但是反映了學(xué)生在積極思考. 而且這個問題具有探討價值，因此教師應(yīng)該對這一內(nèi)容進行即時的反饋和研究.

師：這個問題問得非常好，我們不妨將它作為我們班的數(shù)學(xué)猜想. 這個問題甚至可以一般化，不要求是等腰三角形. 如圖5所示，已知兩個三角形兩條邊的長均為a和b，假設(shè)這兩個三角形中這兩條邊的夾角互補，那么這兩個三角形的面積一定相等. 那如何證明這個猜想呢？

生4：我通過實驗的方法進行證明. 這兩個三角形中長為a，b的邊夾角互補，這說明這兩個夾角的和為180°，于是我把它們拼在一起，根據(jù)三角形的中線等分面積，可以知道這兩個三角形的面積一定相等.

師：這個方法非常巧妙，利用互補條件，通過“180°”這個題眼證明了兩個三角形的面積相等. 那還有其他證明方法嗎？

生5：剛才生4利用“180°”角拼成了一條直線，我想到可以利用同旁內(nèi)角互補的方法來解決. 如圖6所示，因為∠BCD和∠CBA互補，因此AB與CD平行，于是可以證明△ABO和△CDO全等，由此△ABO的面積與△CDO的面積相等. 它們的面積分別加上△BOC的面積，就可以得到△ABC的面積和△BCD的面積相等了.

生6：我還有其他方法……

學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問題激發(fā)了他們的探究熱情，他們在討論中提出了許多獨特的創(chuàng)意和想法.

設(shè)計意圖本例在習(xí)題講解過程中探討了學(xué)生提出的新問題，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生真正成為課堂活動的參與者，有效地鍛煉了學(xué)生的思維.

愛因斯坦強調(diào)提出問題比解決問題更加重要，在發(fā)現(xiàn)問題的過程中思維能夠不斷地深入，從而激發(fā)出新的火花. 因此，在課堂教學(xué)中教師要精心設(shè)計問題，為學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題做好示范，提供有效的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生體會教師研究數(shù)學(xué)問題的方法，為培養(yǎng)學(xué)生具備獨立的思考精神奠定基礎(chǔ). 教師還要指導(dǎo)學(xué)生找準提出問題的時機和方法，在新、舊知識的聯(lián)結(jié)處，在學(xué)習(xí)出現(xiàn)困惑時，在研究由特殊問題向一般問題轉(zhuǎn)化時，及時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力. 同時，教師還要創(chuàng)設(shè)平等和諧的課堂氛圍，鼓勵學(xué)生勇敢質(zhì)疑，使學(xué)生在相互溝通中開闊視野，增長知識.

5. 關(guān)注課堂小結(jié)，提升思維品質(zhì)

課堂小結(jié)是對一節(jié)課的總結(jié)和提煉，是教學(xué)過程中不可缺少的重要一環(huán)，也是幫助學(xué)生對本課知識進行梳理和總結(jié)的手段. 有效的課堂小結(jié)不僅具有實用性，還具有藝術(shù)性，是對課堂教學(xué)成果的鞏固和提升，也是對學(xué)生知識體系的進一步完善，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識.

案例5圖形與變換——平移、旋轉(zhuǎn)、翻折.

本課涉及的圖形變換和運動知識較為零散，需要學(xué)生具備一定的空間想象能力，建構(gòu)起知識體系，才能在具體的運用中游刃有余. 因此，筆者在一節(jié)公開課中采用了如圖7所示的框架總結(jié)方式.

設(shè)計意圖本課的課堂小結(jié)采用了框架結(jié)構(gòu)的形式，將具體的知識點、解題模型與解題方法聯(lián)系在一起，使學(xué)生對圖形變換形成了較為系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的感悟，為學(xué)生后續(xù)解決問題提供了明確的思路，使課堂教學(xué)思想得到了升華.

綜上所述，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生只要真正參與學(xué)習(xí)活動，積極思考、分析和探究，就能發(fā)展深度思維，提升解決問題的能力. 在發(fā)展學(xué)生深度思維的基礎(chǔ)上，教師還要強化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，從而有效地落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).