傳統數學文化在中考試題中的滲透
——各地中考數學滲透傳統數學文化的試題評析

李會芳

（石家莊市新華區教育局教研室，河北 石家莊 050000）

數學文化包含數學家、數學史、數學美、數學教育，以及數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等，涉及社會生活的方方面面。所以說，數學是人類文化的重要組成部分，它的產生和發展在人類文明進程中起著重要的推動作用，是人類文明的重要基礎。數學課程標準中對數學文化作了明確要求，數學文化理所當然成為教材內容的重要組成部分，因此，中考數學命題專家都對命題文化給予了一定程度的重視。近年來，在全國各地中考數學試卷中，滲透傳統數學文化的試題呈逐年上升之勢，這更加激發了廣大初中數學教師在教學中滲透數學文化的動力。石家莊市教育科學研究“十三五”規劃教師個人課題“初中數學教學中滲透數學文化的策略與方法”（課題編號：G2020077）對近年來在全國各地中考數學中滲透傳統數學文化的部分試題進行了評析，希望能幫助教師自然、合理地將傳統數學文化融入到課堂教學之中。

一、弘揚中國傳統數學文化

中國傳統數學文化是我國傳統文化的重要組成部分，它們相互依存、互助發展。中國古代數學成就輝煌，而《周易》不僅是華夏五千年智慧與文化的結晶，同時還是中國古代數學發展的總源頭。中國數學自漢代的《周髀算經》《九章算術》起開始形成體系，魏晉期間偉大的數學家、中國古典數學理論奠基人之一劉徽的杰作《九章算術注》和《海島算經》都是中國最寶貴的數學遺產；南北朝時期杰出的數學家祖沖之，對數學的研究有著重大貢獻，首次將圓周率精確到小數點后的第七位；宋元期間，中國古代數學達到了高峰，秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰四大數學家，是宋元數學的杰出代表，他們的數學著作《數書九章》《測圓海鏡》《詳解九章算法》《算學啟蒙》和《四元玉鑒》流傳至今，他們在短短幾十年里所創造出的驕人成就，在千百年間曾一度居于世界數學發展的前列，為中華文明及世界文明的發展作出了巨大貢獻。

例1.（2021·湖南張家界）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，設正方形ABCD 的面積為S，黑色部分面積為S1，則S1∶S 的比值為（）

點評：本題背景太極圖出自我國古代五經之首、大道之源的典籍《易經》。太極圖是中國古代先民概括陰陽易理，探討宇宙、人生變化發展規律的圖式，它對中華民族的思維方式、思想文化觀念和人文性格均有較大的影響。本題將太極圖置于正方形內，依據太極圖是中心對稱圖形的性質，將無法直接求出黑色部分圖形的面積轉化為求圓的面積，再根據正方形內切圓的性質及其相關知識，獲得正方形邊長與太極圖直徑相等，并通過簡單計算求得結果。本題中的太極圖所蘊含的對立統一、互相轉化的哲學原理，同樣是解決本題的關鍵。

答案：A。

例2.（2021·福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒。該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1、B1、C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2、B2、C2，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2：（注：A ＞B 表示A 馬與B 馬比賽，A 馬獲勝）。一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利。面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1、A2B1、B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創造了以弱勝強的經典案例。

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率。

點評：本題背景“田忌賽馬”，出自我國西漢史學家司馬遷所撰寫的《史記》，這篇文章不僅閃爍著我國古代先賢智慧的光芒，還起到激發學生興趣，提高探究欲望，增強學習自信心的作用。本題通過重構題干，將馬匹及強弱關系符號化，并在“三個假設”的前提下，創造性提出兩個新問題。需要學生在類比、猜想、枚舉、操作、探究、計算、論證等過程中，發現、提出問題，分析、解決問題。因此，本題在深入考查概率概念的同時，較好體現了數學抽象、數學模型、邏輯推理等數學核心素養。

答案：（1）田忌首局應出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝，；（2）不是，（田忌獲勝的所有對陣情況略）勝率為。

說明：本題所提出的問題，跳出了大多數中考數學試題對中國傳統文化考查的命題模式，（呈現經典名題，給出白話翻譯，再讓學生解答的形式）較好體現了學科育人目標，有利于引領教師深入挖掘經典名題的數學文化內涵，真正讓數學文化走進課堂。

二、了解世界優秀數學文化

中國、埃及、古巴比倫和印度，并稱為四大文明古國，都是世界現代文明的起源地。各國的傳統數學文化同樣推動著社會的發展和進步。埃及文化可追溯到公元前4000 年。公元前2900 年，開始建筑金字塔時，就已經具備一些初等幾何知識。古巴比倫文化可以上溯到公元前2000 年左右的蘇美爾文化，這一時期，人們基于對量的認識，建立了數的概念。從大約公元前1800 年開始，古巴比倫已經使用較為系統的60 進位制數系。自公元前8 世紀起，印度在關于祭壇與寺廟的建造中，就用到了勾股定理、矩形對角線的性質、相似直線形的一些性質，以及一些作圖法等，用符號“0”表示零，也是印度的一大發明。另外，古希臘的數學文化曾取得輝煌成就，如公元前3 世紀左右，歐幾里得的不朽著作《幾何原本》，把前人的數學成果用公理化方法加以系統整理和總結，為古希臘科學和后世西方學術的發展起到了重要的示范作用；公元前5 世紀左右，畢達哥拉斯最著名的成就是對勾股定理（西方稱畢達哥拉斯定理）的證明和無理數的發現，他把證明引入了數學，還提出了“抽象”，從而引發了幾何的思辨，從實物的數與形，抽象到數學上的數與形，把數學推向了科學。古希臘所創立的文明與文化，對西方文明乃至世界文明的發展都起到了重要作用。

例3.（2020·江西）公元前2000 年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號（如圖所示），一個釘頭形代表1，一個尖頭形代表10，在古巴比倫的記數系統中，人們使用的標記方法和我們當今使用的方法相同，最右邊的數字代表個位，然后是十位、百位，根據符號記數的方法，右下面符號表示一個兩位數，則這個兩位數是___________.

點評：古巴比倫時代的科學以數學和天文最為發達，計數法采用六十進位和十進位法。六十進位法應用于計算周天的度數和計時，至今為全世界所沿襲。正如題干所言，古巴比倫人用他們所發明的楔形文字，不僅表達語言，還表示數字，本題就是用楔形文字表示十進位制數25 的一個例子，較好反映了對計數法本質的理解，以及符號意識的滲透，同時，還體現了古巴比倫的先進文明，有利于開闊學生的眼界和思路。

例4.（2021·甘肅武威）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理.如圖，已知，C 是AB弦上一點，請你根據以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

（2）直接寫出引理的結論：線段BC、BF 的數量關系.

點評：古希臘著名數學家阿基米德，在諸多科學領域都作出了突出貢獻，他給出了“阿基米德公理”，使與極限相關命題證明的“窮竭法”更加嚴密，求得了拋物線弓形、螺線、圓形的面積和體積以及橢球體、拋物面體等復雜幾何體的體積，同時在三次方程和算術方面都有貢獻。阿基米德的著作是數學闡述的典范，寫得完整、簡練，顯示出巨大的創造性。本題以《阿基米德全集》中的《引理集》命題3 為背景，將命題中的部分條件以尺規作圖的要求呈現，同時將命題的結論轉化為猜想結果，較好考查了學生獨立思考、操作探究、猜想驗證的能力，并綜合考查了圖形與幾何眾多知識點，實現了深入挖掘經典名題文化內涵的目的，體現了用數學的思維思考并解決問題的能力，凸顯了理性精神。

三、中外優秀傳統文化交融共存

歷史的進步、人類的文明都是相互促進多元發展的，數學文化也是人類文明的重要組成部分。中外歷代數學家，對數學運算的研究，大都以算法為基礎，而中國的《九章算術》就是算法的代表之作；對邏輯推理的研究，大都以公理化體系為基礎，而希臘歐幾里得的《幾何原本》就是用邏輯的鏈子，由此及彼地展開全部幾何學。每個國家、每個民族也都有自己的數學文化，它們共同促進世界數學文化的發展和繁榮。了解中外數學文化，可以開闊視野，增強信心，激發學生學習數學的熱情。

例5.（2021·陜西）幻方，最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對角線上的三個數字之和均相等，則圖中a的值為__________.

點評：幻方在我國古代稱為九宮圖、縱橫圖。最早在周代《尚書》文獻中有洛書的記載，將洛書中龜背上的點用數字表示出來，得到九宮圖，即現在的三階幻方。十三世紀，中國南宋數學家楊輝，在他的著作《續古摘奇算法》卷一中有了“縱橫圖”之名，其中給出了三至十階幻方及其變體共十三種，這是世界上對幻方系統研究的最早記載。歐洲十四世紀也開始了這方面的工作，著名數學家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究，如今，幻方仍然是組合數學的研究課題之一。幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學性質正逐步得到揭示。本題以奇妙的幻方問題激發學生興趣，較好考查了學生依據幻方的意義，正確提取表中數據，布列方程并求解的能力。本題對數據觀念和模型思想有明顯體現，并具有較好的可拓展性。

答案：-2。

例6.（2021·廣東）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a、b、c，記，則其面積.這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式.若p=5，c=4，則此三角形面積的最大值為（）

點評：海倫—秦九韶公式是由古希臘的幾何學家海倫和中國宋代的數學家秦九韶，在不同年代獨立發現，分別出現在海倫的著作《度量》和秦九韶所著的《數書九章》中。雖然兩人給出的公式在形式上有所不同，但實質是一樣的。題目直接體現了中外傳統數學文化的精髓。本題沒有采用直接代入數值求面積的設問方式，而是以此公式為載體，靈活考查學生運用二次函數的性質確定其最大值的能力，在滲透傳統數學文化的同時，加大對理性思維的考查力度。

答案：C。

在中考試題中滲透傳統數學文化，“可以適當引導中學數學教學，使得更多的教師關注數學文化，研究數學文化，將數學的本質教授給學生。學生通過數學文化的熏陶，可以促進健全人格的養成。”在中考試題中滲透傳統數學文化，特別是中國傳統數學文化，可以激發學生學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，感受中外數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美，潛移默化地提升學生的愛國情懷和民族自豪感，有效促進立德樹人目標的實現。