將案例教學(xué)融入離散數(shù)學(xué)課堂

何苗 吳小娥 張曉孿 李耀波

摘?要：針對計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，將案例教學(xué)融入課堂，以實際問題為主線，通過提出問題、分析問題和解決問題三個步驟完成教學(xué)，培養(yǎng)和提升學(xué)生將實際過程中學(xué)習(xí)通過建立數(shù)學(xué)模型和算法的設(shè)計，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，有效解決實際問題。最終達到培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);案例教學(xué);數(shù)學(xué)模型

Integrating?Case?Teaching?into?Discrete?Mathematics?Classroom

He?Miao?Wu?Xiaoe?Zhang?Xiaoluan?Li?Yaobo

School?of?Computer，Baoji?University?of?Arts?and?Sciences?ShaanxiBaoji?721013

Abstract：In?order?to?stimulate?students'?interest?and?enthusiasm?in?learning?discrete?mathematics，case?teaching?is?integrated?into?the?classroom?for?students?majoring?in?computer?science?and?technology.Taking?practical?problems?as?the?main?line，the?teaching?is?completed?through?three?steps?of?raising?problems，analyzing?problems?and?solving?problems.Train?and?improve?the?students?to?learn?in?the?actual?process?through?the?establishment?of?mathematical?model?and?algorithm?design，practical?problems?into?mathematical?problems，effectively?solve?practical?problems.Finally，students'?ability?to?think，analyze?and?solve?problems?can?be?cultivated.

Keywords：discrete?mathematics;case?teaching;mathematical?model

1?學(xué)情分析

離散數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課程。學(xué)生的特點是數(shù)學(xué)知識扎實，邏輯思維能力和解決實際問題的能力一般，將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過求解數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力較弱，課堂氣氛不活躍。針對上述問題，我們不僅需要給學(xué)生講解最基本的知識點，還需要給學(xué)生拓展相應(yīng)知識點的算法和用這些知識點和算法如何求解實際問題，最終達到培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力。

2?以實際問題為主線進行教學(xué)活動

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，結(jié)合計算機學(xué)院專業(yè)的特點，以實際問題為主線，通過提出問題、分析問題、解決問題三個步驟完成主要教學(xué)如圖1所示。提出問題的主要目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動變?yōu)橹鲃?，讓學(xué)生對問題產(chǎn)生興趣，愿意主動積極地去解決實際問題。分析問題主要通過新課的導(dǎo)入，針對具體的實際問題，給學(xué)生分析該如何去解決這個問題，為了解決這個問題，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些知識，哪些知識是我們沒有學(xué)習(xí)的，然后將新課進行導(dǎo)入。解決問題，通過導(dǎo)入的新課，然后講解新的知識點，從理論到算法，對學(xué)生進行深入的講解，通過新學(xué)習(xí)的知識點，來求解提出的問題，這樣既讓學(xué)生復(fù)習(xí)新學(xué)習(xí)的知識點，又讓學(xué)生學(xué)會如何通過已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識點來求解實際問題。以實際問題為主線的教學(xué)的優(yōu)勢是培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力的短板。培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力，實踐過程中學(xué)習(xí)通過建立數(shù)學(xué)模型和算法的設(shè)計，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進一步通過所學(xué)習(xí)的知識點有效地解決實際問題。

下面我們通過最小生成樹[1]的教學(xué)活動給出提出問題、分析問題和解決問題的三個步驟。一個鄉(xiāng)有9個自然村如圖2所示，問假設(shè)架設(shè)通信線時，如何拉線才能使用線最短。通過這樣一個實際問題拋給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生思考該如何求解該問題。首先我們將這樣一張實際的地圖轉(zhuǎn)化為一個無向連同圖，如圖3所示，引導(dǎo)學(xué)生回憶之前學(xué)習(xí)過的知識點生成樹的概念，給這樣一個具有實際背景的無向連同圖畫出它的生成樹，我們會發(fā)現(xiàn)不同的學(xué)生畫的生成樹是不一樣的，如果按照學(xué)生所畫的生成樹來拉線的話，我們會發(fā)現(xiàn)所使用線的長短不一樣，啟發(fā)學(xué)生該如何選擇才會使得線的距離最短，最后發(fā)現(xiàn)生成樹雖然可以解決這個實際問題，但是不能保證解決的方案是一個最優(yōu)的方案，那應(yīng)該如何保證尋找到的拉線路徑是最佳的，這就是本節(jié)課所需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最小生成樹。

下面給學(xué)生講解最小生成樹的概念，啟發(fā)學(xué)生思考，最小生成的概念也不能解決這個實際問題，然后提出求解最小生成樹的算法、Kruskal算法和Prim算法，講解算法的思想和算法的求解步驟。通過Kruskal算法和Prim算法解決給自然村架設(shè)通信線最短的問題。最后對所學(xué)習(xí)的知識點進行拓展。

下面我們通過最優(yōu)樹的教學(xué)活動給出提出問題、分析問題和解決問題的三個步驟。通過案例用機器分辨一些紙幣，假設(shè)各種紙幣出現(xiàn)的概率不同。問題是如何設(shè)計一個分辨紙幣的方法，使得所需的時間最少？

下面通過和學(xué)生一起分析這個實際問題，發(fā)現(xiàn)二元樹可以解決這個問題，但是它不是最佳的方案，為了尋找最佳的方案，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容最優(yōu)樹的概念。

下面給學(xué)生講解最優(yōu)樹的概念以及求解最優(yōu)樹的Huffman算法，和學(xué)生一起利用Huffman算法解決紙幣分辨的問題。

最后讓學(xué)生課后以小組的形式解決當字母出現(xiàn)的頻率不同，構(gòu)造字母的前綴碼使得傳輸?shù)亩M制位最少。教師最后只需要負責(zé)點評，讓學(xué)生自己獨立思考問題、解決問題。

3?將實際案例融入離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)

將離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)分為課前、課中和課后，具體過程如圖4所示。

課前，教師通過教學(xué)分析、教學(xué)設(shè)計，將教學(xué)資源推送給學(xué)生，有些基礎(chǔ)知識可以通過MOOC資源或者教師錄課的小視頻推送給學(xué)生，讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)，有些知識點需要學(xué)生自主預(yù)習(xí)。

課中，教師通過課程導(dǎo)入、新課講解、求解問題和歸納總結(jié)四個步驟完成課堂的教學(xué)工作，學(xué)生在課堂中需要積極參與進來，需要進行小組討論，最后歸納總結(jié)，課堂反饋。

課后，教師需要評估教學(xué)，鼓勵學(xué)生在課后以小組的形式相互設(shè)計問題，進行描述模型并且通過所學(xué)習(xí)的知識點進行實際問題的求解，教師此時只需要負責(zé)引導(dǎo)和點評，讓學(xué)生自己獨立的思考問題、分析問題和解決問題。培養(yǎng)和提升學(xué)生在實際過程中解決實際問題的能力。讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動變?yōu)橹鲃樱{(diào)動學(xué)生的積極性。

下面我們通過最小生成樹的教學(xué)活動給出課前、課中和課后的教學(xué)活動。課前利用雨課堂給學(xué)生布置自主預(yù)習(xí)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)之前學(xué)習(xí)過的樹、生成樹的概念以及相關(guān)的定理。課中，通過提出實際問題，給自然村架設(shè)通信線的例子，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性和主動性，從而獲得較好的教學(xué)效果。探究新知，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生成樹的概念可以解決實際問題，但是不能達到最優(yōu)，達到最優(yōu)需要找到生成樹中權(quán)值最小的那一棵生成樹，這就是本節(jié)課需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。知識回顧，通過回顧樹和生成樹的概念，加深之前所學(xué)習(xí)的知識，并且為新知識的學(xué)習(xí)起到鋪墊的作用。講授新知，講授最小生成樹的概念和Kruskal算法，并提出一個不需要每次檢驗邊的權(quán)值最小的一個Prim算法，Prim算法作為本節(jié)課拓展的一個算法，并激發(fā)學(xué)生尋找復(fù)雜度更低的算法，最后給出MATLAB軟件的代碼[23]，促進學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)他們的興趣。求解實際問題，通過實際問題的求解，來鞏固本節(jié)課的教學(xué)重點和教學(xué)難點。最后進行課堂小結(jié)，回顧本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，和學(xué)生一起總結(jié)教學(xué)重點和教學(xué)難點。進行知識拓展，開拓學(xué)生的視野、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。課后，讓學(xué)生以小組的形式解決信息中心通信系統(tǒng)的問題，如何建立數(shù)學(xué)模型，如何分析問題，最后解決問題，培養(yǎng)和提升學(xué)生解決實際問題的能力。

4?離散數(shù)學(xué)線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式

基于互聯(lián)網(wǎng)+的大環(huán)境，在數(shù)字化、智能化和網(wǎng)絡(luò)化信息下，結(jié)合計算機學(xué)院的專業(yè)特點，將線上教學(xué)和線下教學(xué)相結(jié)合，做到全方位的實現(xiàn)教學(xué)模式。在一般的情況下，將線上教學(xué)用于線下教學(xué)的輔助，有效地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的知識點和對未來工作和科研有幫助的內(nèi)容。線上教學(xué)主要用于課前和課后，在課前，利用微信群、QQ群或者雨課堂發(fā)布學(xué)生需要預(yù)習(xí)的內(nèi)容和需要提前學(xué)習(xí)的知識點。教師可以給學(xué)生錄制小視頻或者發(fā)布MOOC資源上的學(xué)習(xí)視頻。課后，我們可以利用微信群、QQ群或者雨課堂給學(xué)生布置課后作業(yè)，解答學(xué)生的疑問，在案例教學(xué)的過程中，可以讓學(xué)生分組來完成一些實際的案例，培養(yǎng)學(xué)生團隊協(xié)作能力和解決實際問題的能力，通過協(xié)作完成任務(wù)，可以讓學(xué)生之間相互學(xué)習(xí)相互幫助，既可以增加同學(xué)情誼又能更好地完成任務(wù)。提倡學(xué)生之間分享任務(wù)完成的結(jié)果和方法，教師此時只需要做到監(jiān)督和講評。

例如，在進行最小生成樹的教學(xué)過程中，可以利用微信群、QQ群和雨課堂發(fā)布需要復(fù)習(xí)的知識點、樹和生成樹的基本概念以及相關(guān)的定理和推論。在課堂的教學(xué)過程中，可以利用雨課堂進行隨堂小測和讓學(xué)生完成自然村之間架線的問題，通過講解學(xué)生的答案，得出生成樹可以解決自然村之間的架線最短問題，但不是最佳的方案，然后引出本節(jié)課的教學(xué)重點，最小生成樹的概念以及求解最小生成的算法Kruskal算法和Prim算法。課后，利用線上給學(xué)生發(fā)布課后的習(xí)題作業(yè)以及實際問題：構(gòu)建一個包含A、B、C、D、E的5個信息中心通信系統(tǒng)的問題，如圖5所示，使得總體費用最小。

結(jié)語

針對教學(xué)重點和難點，把應(yīng)用型思維嵌入離散數(shù)學(xué)課堂。實踐教學(xué)以教師的引導(dǎo)為基礎(chǔ)，把研究性學(xué)習(xí)方法應(yīng)用到實踐過程中，以某個實際問題為主線，通過問題的提出、分析和解決三個步驟完成求解。具體通過案例引入問題，啟發(fā)學(xué)生思考，從而化解教學(xué)重點和難點。學(xué)生在實踐過程中學(xué)習(xí)通過建立數(shù)學(xué)模型和算法的設(shè)計，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，有效解決實際問題。結(jié)合學(xué)生自身掌握計算機操作水平及自身對知識的理解能力來設(shè)計相應(yīng)的實踐內(nèi)容。對涉及應(yīng)用的知識點，具體內(nèi)容可以是問題導(dǎo)向型的，主要利用相關(guān)知識來解決某個學(xué)科問題或?qū)嶋H問題，但具體是什么問題是開放的。在應(yīng)用型思維為主的教學(xué)過程中安排實踐教學(xué)，通過實踐教學(xué)，有效引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，從而有效提高教學(xué)效果。

參考文獻：

[1]耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[2]張巖，吳水.MATLAB優(yōu)化算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2017.

[3]劉浩.MATLAB?R2020a完全自學(xué)一本通[M].北京：電子工業(yè)出版社，2020.

基金項目：寶雞文理學(xué)院第十六批校級教改資助項目研究成果，項目編號：21JGYB50，21JGYB24

作者簡介：何苗（1987—?），女，漢族，陜西寶雞人，理學(xué)博士，講師，研究方向：隨機非線性系統(tǒng)的控制。