指向算理理解的計算教學

[摘? 要] 在小學數學計算教學中，教師要應用各種方法，促進學生理解算理，進而引導學生建構算法。理法融通，是學生計算學習的最高境界。指向算理理解的計算教學，要依靠學生的經驗、依靠學生的操作、依靠直觀的圖形等。要讓學生知算理、曉算法;依算理、明算法;釋算理、用算法。還要將算理理解和算法建構統一到學生計算學習之中，使之成為學生計算核心素養的重要組成。

[關鍵詞] 計算教學;算理理解;算法建構

計算教學是數學教學的重要組成部分，是學生數學學習的基礎，是學生數學素養形成的基石。計算教學不僅要引導學生建構算法，更要引導學生理解算理。算理是算法的根據，是算法賴以成立的內在的數學原理，而算法則是算理的形式化表征，也是算理的操作化程序[1]。在小學數學計算教學中，教師要應用各種方法，促進學生理解算理，進而引導學生建構算法。這樣的理法融通，是學生計算學習的最高境界。

一、借助經驗理解算理

計算教學，教師要對學生的算法建構進行有效預判，對學生在算法建構中可能會遭遇的障礙、困惑及時預警。指向學生算理理解的計算教學，不僅要求學生掌握計算方法，提升計算技能，更要求學生在計算中理解算理，從而形成一種內在的現實性的“計算自覺”。這種計算自覺，能逐步地使學生具有“數學的眼光”和“數學的大腦”[2]。

學生理解算理的方式方法很多，其中最為重要的是利用經驗、操作、圖形等。在計算教學中，教師借助學生的經驗（包括生活經驗和知識經驗等），能有效地引導學生建構算法。經驗，是學生算法建構的現實，學生的算法建構離不開學生的經驗。作為教師，在教學中要積極探尋計算與學生經驗的鏈接點、融合點、契合點等，從而促進學生的算法建構。比如教學“帶括號的四則混合運算”，重點是引導學生認識“先進行括號里面的運算，再進行括號外面的運算”。換言之，這里重要的是讓學生理解“括號”的意義。但在引導學生學習“帶括號的四則混合運算”的順序時，教師不能采用機械說教的方式方法，不能讓學生機械識記法則，而應當是聯系學生的生活經驗，賦予抽象的、形式化的運算順序以意義。如筆者在教學中，將學生生活中買東西付錢的例子引入其中，引導學生解釋算理、理解算理。如此，學生在計算法則的建構中就能積極主動地聯系自我的生活實際，對抽象的四則混合運算進行解釋，從而讓抽象的符號算式變得生動起來，促進了學生對法則的深度理解。

經驗是學生算法建構、算理理解的源頭活水，它應當貫穿于學生算法建構、算理理解的始終。學生的計算應當基于學生的經驗，貫穿于學生的經驗之中，并且為了積累經驗而展開。借助經驗引導學生理解算理、建構算法，還能促進學生將計算應用于解決實際問題，即促進學生的“算用結合”。

二、借助操作理解算理

指向算理理解的計算教學，不僅可以借助學生的經驗，而且可以借助學生的操作。操作，是一種具身化的學習方式。操作不同于簡單的、機械的動手做，而是融合了學生的數學思維、想象。在操作過程中，教師還可以引入一些教具、學具等，從而促進學生的算理理解。借助操作，能深化學生的直觀動作思維體驗，并能導引學生的思維從直觀操作過渡到具體形象，再過渡到抽象邏輯。

比如教學“十幾減9”這部分內容，重點是引導學生掌握“破十法”“平十法”“算減想加法”等計算法則。教學中，教師著重要激發學生產生建構法則的內需，讓學生思考建構法則。比如教師可以出示一些情境性的問題：大猴摘來13個桃子，小猴吃了9個，還剩多少個？此時，教師可以給學生提供半結構性的操作素材，比如用小球來代替桃子，并且將10個桃子放在盒子里，凸顯10個桃子為一組，盒子外面放置3個桃子，這樣引導學生操作。并以小組為單位，提煉出操作方法。如有小組這樣操作，先從盒子里的10個桃子中拿出9個，再將剩下的1個和盒子外面的3個合起來，就成了4個，這就是“破十法”的算法模型;有小組這樣操作，先從盒子外面拿走3個，再從盒子里面拿走6個，還剩4個，這就是“平十法”的算法模型;還有小組根據9加4等于13，推導出13減9等于4，這就是“算減想加法”的算法模型。在操作過程中，學生對各種算法法則進行著意義建構，因而就能感受、體驗到并且深刻理解算法模型背后的算理。這些算理是支撐學生建構、鞏固、應用算法法則的重要基礎。當然，在這個過程中，教師也要對學生可能會出現的一些劣構性算法有一個預判、預警。如有學生可能會一個個地拿;有學生可能會先拿盒子中的5個，再拿盒子外面的3個，最后又拿盒子里面的1個，等等。對于學生可能會出現的劣構操作，教師要善于追問、啟發、引領，從而將學生的操作拉回到算法建構的原則上來。

借助操作理解算理，就是通過操作讓學生經歷算法數學化的過程。操作是學生算理的一種展開，是一種直觀化、動作化的形式，為學生的算理理解和算法建構提供了內援支撐;而法則建構則是操作的提煉，是一種必要的凝聚。在操作中理解算理、建構算法，能讓學生獲得深刻的感受、體驗。在操作的過程中，教師要鼓勵學生操作多元化，要引導學生算法建構多樣化，還要注重引導學生比較操作方法，在算法多樣化的基礎上進行算法優化。

三、借助圖形理解算理

“數形結合百般好，隔離分家萬事休”[3]。教師在引導學生建構算法的過程中，還可以引入相關的圖形，通過數形結合，將代數問題幾何化，從而直觀形象地引導學生理解算理、建構算法。借助直觀的圖形來理解抽象的數，能讓抽象的算理找到直觀形象的解釋。在小學計算教學中，借助圖形來引導學生理解算理，不僅能讓抽象的算理形象化，而且有助于促進學生具體形象思維與抽象邏輯思維協同發展。

比如教學“分數除法計算法則”這部分內容，教材安排了多個例題，分別對應于“分數除以整數”“整數除以分數”和“分數除以分數”。其中，“整數除以分數”有兩類例題，一是整數除以分數單位;二是整數除以一般的分數。教學中，教師要從“平均除”和“包含除”兩種除法類型引導學生用實物圖、線段圖等來表征題意，從而讓學生能自行探索出分數除法的算理。在此基礎上，教師進一步引導學生大膽猜想：分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數可以怎樣進行計算？有了學生的大膽猜想，教師再一次引導學生借助圖形來進行驗證。顯然，圖形在分數除法法則的建構中不僅是激發學生猜想的催化劑，更是引導學生進行數學驗證的強心劑。在計算教學中，由于有了形的支撐，學生的算理探索就有了方向。比如在“4÷1/2”中，教師引導學生畫出了線段圖，先引導學生直觀理解“1里面有2個”，再引導學生直觀理解“4里面有8個”，從而引導學生有效地認識、理解了“4÷1/2=8”。再比如教學“分數除以分數”這部分內容，對于“÷”，教師借助量杯這樣一個具體化的實物圖，讓學生從算式直接推算出計算結果，進而對“分數除以整數”和“整數除以分數”提出相應的猜想。與此同時，教師可以讓學生自己嘗試舉例，并且引導學生自己畫圖解決問題。在這里，圖形就是溝通學生計算算理和算法之間的橋梁，是聯系算理與算法之間的紐帶。圖形是對算理的直觀化、形象化的表征，能為學生的算法建構找到生長的土壤。

“感性無知性則盲，知性無感性則空”[4]。算法建構是一個知性化的建構過程，這一知性化建構必須依賴于感性化的支撐。算法是一種比較抽象化、程式化的東西。如何讓抽象化、程式化的算法建構、算法應用等變得靈動起來，一個重要的方法是借助感性直觀的東西來支撐算理。圖形是一種直觀、感性的有效工具。借助直觀、感性的圖形，能有效地培養學生對算法建構、算法應用的敏捷性、靈活性和廣闊性。

在計算教學實踐中，算理和算法應當是相互交織在一起的。作為教師，就是要借助學生的經驗、借助學生的操作、借助直觀的圖形來架設算理和算法之間的橋梁。在直觀化的算理支撐下，學生能感悟、建構出有效的算法。指向算理理解的計算教學，要讓學生知算理、曉算法;依算理、明算法;釋算理、用算法。唯有如此，算理理解和算法建構才能統一到學生的計算學習之中，成為學生數學計算核心素養的重要組成。

參考文獻：

[1]? 涂榮豹，季素月. 數學課程與教學論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2]? 侯正海. 在理解算理的基礎上構建算法[J]. 小學數學教師，2010（Z2）：134-143.

[3]? 吳加奇，余瑤. 以學生為中心開展課例研究[J]. 教學與管理，2020（20）：23-25.

[4]? 馬天紅. 整體視域下小學數學練習課的設計[J]. 教學與管理，2021（17）：63-66.

作者簡介：萬小麗（1982—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學工作。