兩種類型的最優查血方案問題及其研究

【摘 要】 通過查血來查出給定的n個人中感染了某種病毒的所有人.為了提高檢測效率，可采用“k合1檢測法”，進而產生兩類最優查血方案問題：（1）感染病毒人數已知的最優查血方案問題;（2）感染病毒概率已知的最優查血方案問題.文章提出這兩類問題并做細致研究，得到了一些有益的結論.

【關鍵詞】 最優查血方案問題;數學期望;正整數的分拆;最佳咽拭子核酸檢測

通過查血來查出給定的n個人中感染了某種病毒的所有人.為了提高檢測效率，可采用“k合1檢測法”，進而產生兩類最優查血方案問題：（1）感染病毒人數已知的最優查血方案問題;（2）感染病毒概率已知的最優查血方案問題.本文詳述這兩類問題并做細致研究，得到了一些有益的結論.

約定本文中的某人是否感染病毒可通過查血來檢測：（1）若查血的結果呈陽性則感染了該病毒，若查血的結果呈陰性則未感染該病毒;（2）把一些人的血液混在一起化驗：若結果呈陰性則說明這些人均未感染該病毒，若結果呈陽性則說明這些人中有人感染了該病毒.

定義1 （1）[1]（已知正整數的分拆）把n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）叫做已知正整數n的一種分拆（記作τ），其中的n1，n2，…，nt都叫做τ的元素（當有元素相同時也可用乘法記，比如分拆7=1+2+2+2也可記作7=1+2·3，但這里的“2·3”不能改寫成“3·2”）.本文研究的分拆與元素的順序無關;

（2）（已知正整數的均分拆）當n1=n2=…=nt時，（1）中的分拆τ（記作分拆τ*）叫做已知正整數n的一種均分拆τ*.定義2 （把血液先分成兩份的查血方案）現有k（k∈N*）個人，其中有若干個人……