從解析幾何角度看一類距離問題

【摘 要】 從將軍飲馬問題出發，以解析幾何的視角討論了定直線上一動點到直線外兩定點的距離之和、差、比、積問題，給出了具體的計算思路與過程.

【關鍵詞】 距離運算;解析幾何;思路過程

1 從平面幾何角度提出問題

將軍飲馬問題有著悠久的歷史，它是平面幾何中的一個重要幾何模型，與其相關的內容是各類考試考查的熱點，文[1]、文[2]對該問題及其推廣作了深入的探討，該問題的數學表述如下：

問題 已知l為平面內一定直線，A，B為l同側的兩個定點，試在l上找到一個點P，使得PA+PB最小.

以下解法是大家所熟悉的：如圖1，作A點關于直線l的對稱點A′，連接線段A′B與直線l交于點P，則P點即為要找的點，理由是如果在l上任取其他一點P′，則

P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB，得證.

上述問題為一個動點到兩個定點的距離之和問題，這與解析幾何中橢圓的定義有些相似，結合原圖象及橢圓的定義可知，相當于要在以A，B為焦點的橢圓系中找出一個橢圓，該橢圓與直線l要有交點（這樣的橢圓有無數個），同時該交點到A，B的距離之和要最小，根據分析作出圖2，結合圖象可知，當直線l與橢圓相切時，該切點即為滿足條件的點P，理由如下：

根據橢圓的定義得PA+PB=CA+CB=2CA，P′A+P′B=DA+DB=2DA，顯然CA<DA，得證.

至此我們找到了另一種通過作圖來確定點P位置的方法，但該法無法求出點P的坐標，進而無法求得最終答案.為了解決這個問題，我們把通過定點A，B的直線作為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，如圖3所示.

我們將在圖3的基礎之上來求解點P的坐標……