例談含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題幾種解題策略

吳水萍 趙忠平

【摘 要】 含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題是近年來(lái)高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，思維難度高，學(xué)生得分率低，本文試圖全面總結(jié)此類題型的解題方向和方法，幫助考生有針對(duì)性突破解決此類問(wèn)題的卡點(diǎn)，提高學(xué)生分析和解決函數(shù)綜合問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)不等式;恒成立;參數(shù)范圍;解題策略

近年來(lái)，全國(guó)高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題，這類題涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高，能較好地考查學(xué)生的思維能力，很值得重視和探究.下面舉例說(shuō)明此類問(wèn)題的幾種解題策略，供參考.1 特值探路

例1 已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析 特殊值是函數(shù)的重要節(jié)點(diǎn)，特殊值往往顯得簡(jiǎn)單、直觀、具體，通過(guò)特殊值容易探索出所求參數(shù)的具體范圍，得到問(wèn)題的必要條件，再進(jìn)一步證明其充分性，問(wèn)題就可以得到完美解答.

解 （1）略;（2）將x取特殊值1代入不等式中，不等式應(yīng)該成立，即f（1）≥1，也即a+lna≥1，令g（a）=a+lna-1.易知函數(shù)g（a）單調(diào)遞增，g（1）=0，所以a≥1.下面證明充分性，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-1x=x-1x.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，故h（x）≥h（1）=1.所以a的范圍是[1，+∞）.

點(diǎn)評(píng) 利用特殊值探路可以迅速化解題目難度，快速找到題目的答案（準(zhǔn)答案），減輕解題思想壓力，轉(zhuǎn)換解題思維角度，補(bǔ)全充分性證明過(guò)程即可完美收官.一般對(duì)數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1，指數(shù)函……