高考中導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用探究

馬孟華 趙寅輝

【摘 要】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為“導(dǎo)數(shù)概念”的幾何化特征，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.通過對近幾年高考試題中導(dǎo)數(shù)幾何意義考查的深入剖析和總結(jié)，系統(tǒng)性地給出了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的五個(gè)方面，并引入了高等數(shù)學(xué)中泰勒公式背景下的切線放縮法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，將導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用進(jìn)行了提升和拓展.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)幾何意義;五個(gè)應(yīng)用;泰勒公式;數(shù)形結(jié)合

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值、凹凸性）的重要工具，其重要性不言而喻. 導(dǎo)數(shù)幾何意義作為“導(dǎo)數(shù)概念”的幾何化特征，其應(yīng)用不僅將幾何與代數(shù)融為一體，而且深刻揭示了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，同時(shí)導(dǎo)數(shù)幾何意義蘊(yùn)藏于導(dǎo)數(shù)綜合問題中的應(yīng)用價(jià)值也將整個(gè)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用推上了一個(gè)新的臺階.下面結(jié)合近年來高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接考查，以及其蘊(yùn)藏在導(dǎo)數(shù)問題中的一些“隱性應(yīng)用”作了歸納、總結(jié)和探究，希望對2022高考導(dǎo)數(shù)問題的備考提供幫助.

1 導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的五個(gè)方面

應(yīng)用1 導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接應(yīng)用

例1 （2021年全國高考甲卷理科第13題）曲線y=2x-1x+2在點(diǎn)（-1，-3）處的切線方程為.

解析 由題知，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-3，故點(diǎn)在曲線上.

求導(dǎo)得y′=2（x+2）-（2x-1）（x+2）2=5（x+2）2，所以y′|x=-1=5.故切線方程為5x-y+2=0.

評析 先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程即可.

應(yīng)用2 含參數(shù)曲線的切線問題

導(dǎo)數(shù)的幾何意義在于可求出函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線斜率（斜率存在），進(jìn)一步求出函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線方程，在引入?yún)?shù)的背景下，切線問題的一般處理模式是什么呢？……