基于無偏灰色-馬爾可夫模型的地鐵牽引系統故障預測

張 程，李小波，張 浩，張冬冬，吳竑霖，汪 翔

（上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620）

0 引 言

地鐵車輛是城市軌道交通系統的重要載體，其運行的平穩性和可靠性關系到整個地鐵交通系統的正常運轉和乘客的人身、財產安全。而牽引系統是地鐵列車的核心組成部分，是全車運行的動力源泉。因此，圍繞列車牽引系統展開故障診斷和預測的研究對于提高列車的運行可靠性有著極其重要的意義。

目前應用廣泛的故障預測方法主要包括：時間序列法、回歸分析法、指數平滑法、結構分析法、灰色理論法、BP神經網絡法等。牛坤等人針對鐵路客流量時序特征明顯的特點，采用基于平穩時間序列的鐵路客流量預測模型對短時旅客客流量進行預測，對改善鐵路運營壓力具有一定意義。鄧力等人在回歸預測模型的基礎上，提出一種網絡組件故障的多元線性回歸預測模型，并利用回歸方程和系數的顯著性得到新的預測方程，預測精度明顯提高。楊博帆等人提出了一種能夠根據歷史數據計算出預測誤差，并動態調整平滑系數及融合權值的在線預測算法，實現了對測量參數的準確預測。黃魁等人利用Levenberg-Marquardt算法改進神經網絡模型，并與灰色模型相融合構建灰色神經網絡故障預測組合模型，有效解決了故障樣本數據少、預測精度低等問題。總結上述預測方法，可以將其分為2類。一類是根據采集到的各種特征量來評估設備或系統的運行狀態；另一類是根據歷史故障數據來預測設備或系統未來的故障發展趨勢。但是，現有預測技術還存在諸多局限性。例如：時間序列法、回歸分析法和神經網絡法需要利用大量的歷史數據，存在“周期長、區域大、信度低”的缺點，并且沒有考慮數據波動性較大的情況。灰色預測方法雖然不依賴大量的歷史數據，但在進行長期預測時精度會有所下降。與此同時，隨著科技的不斷發展和進步，各類設備和系統的性能日益提高，其復雜程度也急劇增加，導致故障預測的難度較大。因此，如何構建理想的預測模型、提高預測精度成為近些年來關注的熱點問題。

針對以上問題，結合地鐵牽引系統復雜程度高、數據樣本少、隨機因素多等特點，本文提出一種無偏灰色與馬爾可夫模型相結合的預測模型。一方面，該模型既利用了灰色預測模型所需數據少、短期預測精度高的優點，對歷史故障數據進行擬合并得出預測值；另一方面，考慮到系統故障次數具有隨機波動性，通過馬爾可夫模型尋找系統未來的故障狀態變化規律，從而實現灰色理論與馬爾可夫模型的優勢互補。

1 無偏灰色預測模型

1.1 灰色理論

由于復雜裝備或系統自身具有的復雜性和不確定性，常常導致監測數據不完善、數據樣本少等情況，使得故障預測難度增大。針對這種“部分信息已知，部分信息未知”的灰色系統，一般使用灰色理論方法對其進行故障預測。

灰色理論的預測對象是系統行為特征值，也就是對在一定范圍內變化的、與時間序列有關的灰過程進行預測。雖然系統數據看起來雜亂無章，但這些數據之間可能蘊含著潛在的規律。灰色理論就是在原始數據的基礎上，通過生成灰色序列來尋求其變化規律。在此過程中，灰色序列的隨機性被弱化，規律性逐漸顯現。

整理分析地鐵牽引系統故障數據資料發現，大部分數據包含的信息量較少，且規律性不明顯，符合貧信息系統的特點，故選用灰色理論預測模型具有一定的適用性。但是，傳統的灰色（1，1）預測模型適用于數據呈指數變化趨勢的預測。因此，選用經過灰參數優化的無偏灰色預測模型，較好地解決了傳統模型在數據增長率過高時失效的問題，提高了模型的預測精度。

1.2 無偏灰色模型建立步驟

（1）設原始數據序列為：

（2）累加生成新的數據序列：

（3）構造累加矩陣和常數向量，生成的緊鄰均值序列。由此推得的數學公式為：

緊鄰生成序列為：

則存在累加矩陣和常數向量為：

（5）在計算出、的基礎上，再計算無偏灰色模型的參數、，其值分別為：

由此建立無偏灰色（1，1）模型：

（6）模型精度檢驗。由模型預測函數計算出原始數據序列的擬合值之后，需要檢驗模型的預測精度，以便判斷模型是否合理。本文采用平均相對誤差、關聯度和均方差比值這三項指標來對模型進行精度檢驗。 常用的模型精度等級檢驗參照表見表1。

表1 模型精度等級檢驗參照表Tab.1 Accuracy grade inspection reference table for the model

2 無偏灰色-馬爾可夫預測模型的建立

2.1 馬爾可夫理論

馬爾可夫理論的核心思想是：在隨機過程中，系統在將來時刻的發展狀態，僅與當前時刻所處的狀態有關，而與之前狀態無關，這個特性被稱為“無后效性”或“馬爾可夫性”，這個隨機過程即為“馬爾可夫過程”。

馬爾可夫模型的預測對象是系統將來所處的狀態，該理論以系統當前狀態和變化趨勢為基礎，通過構建狀態轉移概率矩陣來尋找各狀態之間的轉移規律，最終計算出下一時刻系統向各狀態的轉移概率，故選用馬爾可夫模型可以較好地應對數據隨機波動性較大的情況，從而彌補了無偏灰色預測方法的不足。

2.2 無偏灰色-馬爾可夫預測模型建立步驟

（1）劃分狀態。將無偏灰色模型的預測值與實際值相比較得出誤差值，根據實際情況將其分為個狀態，則任一狀態區間可記為S＝［L，U］，，1，2，…，，其中L，U分別為該狀態區間的上、下邊界。

（3）預測系統狀態。在確定馬爾可夫鏈一步狀態轉移概率矩陣之后，按照最大概率準則對矩陣的行向量進行分析，即當max｛P，P，…，P｝＝P時，可以認為系統的狀態下一步將轉移到S，從而完成對系統狀態的預測。

（4）計算預測值并進行修正。根據無偏灰色模型計算得出預測值，并結合步驟（3）中預測的系統狀態對灰色預測值進行修正，最終得到無偏灰色-馬爾科夫鏈預測模型的預測值。

3 牽引系統故障預測實例

3.1 無偏灰色模型預測

某地鐵*號線*車型2014～2020年牽引系統受電弓模塊的故障次數原始數據見表2。

表2 2014～2020年地鐵牽引系統受電弓模塊故障次數統計表Tab.2 The number of failures of the pantograph module of the subway traction system from 2014 to 2020

根據故障原始數據建立牽引系統受電弓模塊無偏灰色預測模型，并進行精度檢驗和對2020年的故障次數進行預測。模型建立過程如下：

（1）構造牽引系統受電弓模塊故障次數時間序列集：

（2）求級比（）和可容覆蓋區間：

由于級比（）沒有全部落在可容覆蓋區間內，所以該時間序列集不滿足灰色預測模型的要求，因此需對其作平移變換處理，使其滿足以上要求。將原始數據序列（加上100，得到數據序列為：

經過計算，該數據序列所有的級比（）均落在可容覆蓋區間內，滿足灰色預測模型的要求，故可以用來建模。

（3）計算累加矩陣和常數向量為：

（4）利用Matlab軟件計算相關參數，可得無偏灰色預測函數為：

則數據序列的擬合值為：

（5）將其還原便可得到原始數據的擬合值：

（6）擬合結果及誤差分析。模型擬合結果及誤差分析見表3。

表3 無偏灰色模型擬合結果統計表Tab.3 Statistical table of unbiased grey model fitting results

（7）預測2020年故障次數。利用無偏灰色模型對2020年受電弓模塊故障次數進行預測，最終預測結果為73.93，與實際故障次數79相比，相對誤差為0.06，可以看出，無偏灰色預測模型的準確性較高。

3.2 無偏灰色-馬爾可夫模型預測

以無偏灰色模型預測值為基礎建立無偏灰色-馬爾可夫模型，并進行誤差分析和預測2020年故障次數，過程如下：

（1）比較2014～2019年牽引系統受電弓模塊的故障次數無偏灰色擬合值與實際值，計算并分析相對誤差，將相對誤差分為4個區間，對應4種狀態：狀態1，［010，001）；狀態2，［001，015）；狀態3，［015，030）；狀態4，［030，048］。計算各狀態的中間值為：0045，008，0225，039。

（2）根據表中已經列出的相對誤差，可以得出相應的狀態。接著利用修正函數，可得馬爾可夫鏈修正后的預測值。修正函數計算公式如下：

則馬爾可夫模型預測值序列為：

（3）誤差分析。無偏灰色-馬爾可夫模型的擬合結果與誤差見表4。

表4 無偏灰色-馬爾可夫模型擬合結果統計表Tab.4 Statistical table of unbiased grey-Markov model fitting results

已知2020年受電弓模塊無偏灰色故障預測次數為73.93，則利用修正函數可以計算出無偏灰色-馬爾可夫模型的預測值為：

而2020年受電弓模塊實際故障次數為79，相對誤差為-0.02，預測結果的準確性較之前有了明顯提升。

（6）模型精度檢驗。對2種模型的預測效果進行比較，見圖1和表5。

表5 故障預測模型精度等級檢驗表Tab.5 Accuracy grade inspection table of failures prediction model

圖1 2種模型的擬合結果、預測結果與實際故障次數的比較Fig.1 Comparison of fitting results，predicted results and actual failure times of the two models

根據圖1可以看出，2種預測模型的擬合結果、預測結果與實際值的變化趨勢較為符合，但無偏灰色-馬爾可夫預測模型無論是擬合結果、還是預測結果都與實際值更加貼合，準確性更高。根據表5可以看出，無偏灰色模型的2項指標、分別達到了一級和二級標準，有一項指標達到了三級標準，因此可以認為無偏灰色模型的預測精度等級達到了一般及以上，而本文提出的無偏灰色-馬爾可夫模型的三項指標都達到了一級標準。由此可見，相比于無偏灰色模型，無偏灰色-馬爾可夫模型具有較高的預測精度，且精度等級為一級（精確）。

4 結束語

針對地鐵牽引系統故障預測問題，本文以受電弓模塊為例，在無偏灰色模型的基礎上，結合馬爾可夫模型來對其故障進行預測。模型精度檢驗結果表明：與單獨采用無偏灰色預測模型相比，無偏灰色-馬爾可夫模型的預測結果誤差更小、預測精度也更高，可為地鐵列車牽引系統的可靠性評估及狀態檢修提供依據，對于牽引系統主動維護策略的制定具有重要的應用價值。不足之處在于，在構建該預測模型的過程中，系統狀態劃分環節易受到主觀人為因素的影響。因此，如何排除干擾因素，更加科學地處理原始數據和劃分系統狀態是下一步研究的重點。