導數易錯題剖析

■江蘇省寶應中學 陳家飛

導數是高中階段研究函數的重要工具,有著廣泛的應用,但是同學們在學習過程中存在一些誤區,經常出現一些錯誤,本文對有關易錯點進行歸納剖析,供大家參考。

易錯點1:對函數單調的充要條件理解不清致錯

例1函數f(x)=ax3-x2+x-5在區間(-∞,+∞)上是增函數,求實數a的取值范圍。

錯解:對f(x)求導得f＇(x)=3ax2-2x+1,由題意可知,f＇(x)＞0 在(-∞,+∞)上恒成立,所以解得a＞,所以a的取值范圍為。

剖析:錯解將“導函數在區間D上大于零”當作“函數在區間D上是增函數”的充要條件。比如,函數f(x)=x3在R 上是增函數,則在R 上f＇(x)=3x2≥0 恒成立,而不是f＇(x)=3x2＞0。由函數在區間D上為增函數(減函數),求參數的范圍時,首先由f＇(x)≥0(或f＇(x)≤0)在D上恒成立求出參數的范圍,再驗證f＇(x)=0時的參數值是否滿足f＇(x)在D的任一子區間上不恒為零。若不恒為零,則保留;否則舍去。

正解:對f(x)求導得f＇(x)=3ax2-2x+1,由題意可知,f＇(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以解得a≥,所以a的取值范圍為。

易錯點2:將“過某點的切線”與“在某點的切線”混淆致錯

例2已知曲線S:y=3x-x3,求過點P(2,-2)的切線方程。

錯解:由題意可知,點P(2,-2)在曲線S上,且y＇=3-3x2,則過點P的切線的斜率k=y＇|x=2=-9,所以過點P的切線方程為y+2=-9(x-2),即9x+y-16=0。

剖析:由導數的幾何意義可知,f＇(x0)表示曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率,其中(x0,f(x0))為切點,但題中所給的點P(2,-2)不一定是切點。曲線在某點處的切線的斜率是該曲線對應的函數在該點處的導數值,這是導數的幾何意義。在此題中,點P湊巧在曲線S上,求過點P的切線方程,卻并非說切點一定是點P,錯解是對求過點P的切線方程和求曲線在點P處的切線方程,認識不到位,發生了混淆。

正解:設切點為Q(x0,y0),則過點P的曲線S的切線的斜率,所以切線方程為y-y0=(3-)(x-x0)。因為切線過點P(2,-2),所以-2-y0=(3-)(2-x0)。又因為y0=3x0-,所以-2-(3x0-)=(3-)(2-x0),整理得+4=0,即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2。若x0=-1,則切點為(-1,-2),切線方程為y=-2;若x0=2,切點為(2,-2),切線方程為9x+y-16=0。故所求切線方程為y=-2或9x+y-16=0。

易錯點3:忽視了函數的變化趨勢致錯

例3已知方程=a有兩個實數解,求實數a的取值范圍。

錯解:原題可轉化為兩個函數f(x)=與y=a的交點問題。因為f＇(x)=,令f＇(x)=0,得x=e。又f(x)的定義域是(0,+∞),所以當x∈(0,e)時,f＇(x)＞0,f(x)在(0,e)上單調遞增;當x∈(e,+∞)時,f＇(x)＜0,f(x)在(e,+∞)上單調遞減。綜上可得,f(x)在x=e處取得極大值,也是最大值f(e)=,所以當a∈時,函數f(x)=與y=a有兩個交點,即方程=a有兩個實數解。

剖析:錯解忽視了函數的具體走勢,雖然函數f(x)先增后減,但是當x→+∞時,函數的值始終是大于0 的,即函數在右側不會與x軸相交。

正解:因為當x∈(0,e)時,f＇(x)＞0,f(x)在(0,e)上單調遞增;當x∈(e,+∞)時,f＇(x)＜0,f(x)在(e,+∞)上單調遞減,所以f(x)在x=e處取得極大值,也是最大值f(e)=,當x→+∞時,f(x)→0+,函數的圖像如圖1 所示,故實數a的取值范圍為。

圖1

易錯點4:對含參函數單調性的分類討論時有遺漏或重復致錯

例4已知函數f(x)=x-1-lnxa(x-1)2(a∈R),討論函數f(x)的單調性。

錯解:由題意知,f(x)的定義域為(0,+∞)。由f(x)=x-1-lnx-a(x2-2x-1)=-ax2+(2a+1)x-(a+1)-lnx,得f＇(x)=-2ax+(2a+1)-。

剖析:分類有遺漏,忽略對a≤0和=1的討論,首先根據a的符號進行討論,當a的符號確定后,再根據x1,x2是否在定義域內討論,當x1,x2都在定義域內時再根據x1,x2的大小進行討論。

正解:由題意知,f(x)的定義域為(0,+∞)。由f(x)=x-1-lnx-a(x2-2x-1)=-ax2+(2a+1)x-(a+1)-lnx,得f＇(x)=-2ax+(2a+1)-。

當a≤0 時,令f＇(x)＞0,得x＞1;令f＇(x)＜0,得0＜x＜1。故函數f(x)的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(0,1)。