導數在雙變量函數中的應用賞析

■安徽省霍邱縣第一中學 陳仿云 余其權(特級教師)

一、結構統一,構造函數

例1(2022屆深圳市實驗學校月考)已知函數f(x)=,g(x)=alnx。

(1)若曲線y=f(x)-g(x)在x=2處的切線與直線x+3y-7=0垂直,求實數a的值;

(2)設h(x)=f(x)+g(x),若對任意兩個不等的正數x1,x2,都有＞2恒成立,求實數a的取值范圍。

解析:(1)由y=f(x)-g(x)=-alnx,得y＇=x-。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=+alnx。

因為對任意兩個不等的正數x1,x2,都有＞2 恒成立,設x1＞x2,則h(x1)-h(x2)＞2(x1-x2),即h(x1)-2x1＞h(x2)-2x2恒成立。

令F(x)=h(x)-2x,則問題等價于函數F(x)=+alnx-2x在(0,+∞)上為增函數,所以F＇(x)=x+-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥2x-x2在(0,+∞)上恒成立,即a≥(2x-x2)max=1。

故實數a的取值范圍為[1,+∞)。

二、尋找關系,變量化一

例2(2022屆陽春市第一中學月考)已知函數f(x)=x2+ax+2lnx(a為常數)。

(1)當a≤4時,討論函數f(x)的單調性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,且|x1-x2|≤,證明:|f(x1)-f(x2)|≤-4ln 2。

解析:(1)因為f(x)=x2+ax+2lnx,x∈(0,+∞),所以f＇(x)=2x+a+。

設g(x)=2x2+ax+2,x∈(0,+∞)。

當-4≤a≤4時,Δ≤0,2x2+ax+2≥0成立,則有f＇(x)＞0,所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

(2)由(1)知函數f(x)的兩個極值點x1,x2滿足2x2+ax+2=0,所以x1·x2=1,x1+x2=。

不妨設0＜x1＜1＜x2,則f(x)在(x1,x2)上是減函數,故f(x1)＞f(x2)。

評注:本題的關鍵點為利用函數的兩個極值點求得x1,x2的關系,利用函數的單調性求得|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),代入解析式替換掉x1后得到僅含有一個變量x2的解析式,然后構造函數求導,利用單調性解決問題。

三、差的代換,變量化一

例3(2021 屆湛江市高三第一次模擬)已知函數f(x)=ex,g(x)=2ax+1。

(1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;

(2)若a＞0,且方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1,x2,證明:＜ln (2a)。

解析:(1)令u(x)=f(x)-g(x)=ex-2ax-1,則u＇(x)=ex-2a。

若a≤0,則u＇(x)＞0恒成立,u(x)在R上單調遞增,又因為u(0)=0,當x＜0 時,u(x)＜0,不合題意,故舍去。

若a＞0,令u＇(x)=0,得x=ln(2a),故當x＜ln(2a)時,u＇(x)＜0,u(x)單調遞減;當x＞ln(2a)時,u＇(x)＞0,u(x)單調遞增。故u(x)max=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0。

令h(x)=x-xlnx-1,所以h＇(x)=-lnx,令h＇(x)=0,得x=1,故h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,故h(x)≤h(1)=0,即h(x)=x-xlnx-1≤0,即2a-2aln(2a)-1≤0,故2a=1,即a=。

綜上可得,a的取值集合為。

(2)方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1,x2,不妨令x1＜x2。

令t=＞0,即證e2t-1＞2tet,令g(t)=e2t-1-2tet,則g＇(t)=2et(et-t-1)。

因為et＞t+1,所以g＇(t)＞0,故g(t)單調遞增,g(t)＞g(0)=0,命題得證。

四、商的代換,變量化一

例4(2022屆皖西七校聯考)已知函數f(x)=2lnx-ax2-bx(a,b∈R),g(x)=-lnx。

(1)當a=-2時,f(x)與g(x)在定義域上的單調性相反,求b的取值范圍;

(2)設x1,x2是函數f(x)的兩個零點,且x1＜x2,求證:＜a(x1+x2)+b。

解析:(1)因為a=-2,所以f(x)=2lnx+2x2-bx,由題意可知,f(x)與g(x)的定義域均為(0,+∞)。

又當a=-2時,f(x)與g(x)在定義域上的單調性相反,所以f(x)=2lnx+2x2-bx在(0,+∞)上單調遞增,所以f＇(x)=+4x-b≥0對x∈(0,+∞)恒成立,即b≤+4x對x∈(0,+∞)恒成立,所以只需。

總之,證明或求解雙變量函數或不等式的基本思想是將二元函數或不等式轉化為一元函數或不等式,可以合理利用雙變量之間的關系直接代入消元,也可以分散雙變量后直接構造函數,還可以變換不等式使兩個變元成為一個整體即重組雙變量后換元成單變量的函數,掌握這些常用的方法,則這類函數問題就能迎刃而解。