函數的幾種數學模型應用探究

■貴州省晴隆民族中學 岑春靜

函數是高中數學知識的主線之一,也是高考的難點,要注意對函數基本性質的歸納總結,特別是函數的最值、對稱性、零點等問題。求函數的參變量問題是高考的熱點,我們在學習的過程中也要加強歸納總結。

題型一、形如函數f(x)=(x＞0)的圖像問題

結論1:若函數f(x)=(x＞0)在區間(0,e)上為單調遞增函數,在區間(e,+∞)上為單調遞減函數,則當x=e時,函數f(x)=(x＞0)取得最大值為。

證明:函數f(x)=的定義域為(0,+∞),f＇(x)=。當f＇(x)＞0,即0＜x＜e時,函數f(x)為單調遞增函數;當f＇(x)＜0,即e＜x時,函數f(x)為單調遞減函數。又f＇(e)=0,故當x=e時,函數f(x)=(x＞0)取得最大值,最大值為。

例1已知a＞0,且a≠1,函數f(x)=。

(1)當a=2時,求函數f(x)的單調區間。

(2)當函數y=f(x)與直線y=1 有且僅有兩個交點時,求參變量a的取值范圍。

題型二、函數的中心對稱問題

結論2:如果函數f(x)對任意x∈D,恒有f(a-x)+f(b+x)=c,那么函數f(x)的圖像關于中心對稱。

例2已知函數f(x)的定義域為R,且滿足條件f(-x)=2-f(x),若y=和y=f(x)的交點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),…,(xm,ym),則=()。

A.0 B.mC.2mD.4m

題型三、函數的對稱性問題

結論3:若函數f(x)滿足f(a+x)=f(b+x),則函數f(x)關于直線x=對稱。

例3已知函數f(x)的定義域為R,且滿足f(x)=f(2-x),當函數y=|x2-2x-3|與y=f(x)的交點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),…,(xm,ym),則=()。

A.0 B.mC.2mD.4m

解析:因為函數f(x)=f(2-x),所以f(x)的圖像關于直線x=1對稱。又因為函數y=|x2-2x-3|也關于直線x=1對稱,所以兩函數的圖像的交點也關于直線x=1對稱,不妨設x1＜x2＜x3＜…＜xm,則x1+xm=x2+xm-1=…=xm+x1=2,故。

題型四、函數的奇偶性問題

結論4:若函數f(x)是奇函數,且g(x)=f(x)+c,則g(-x)+g(x)=2c。

證明:由于函數f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x),故g(-x)+g(x)=f(-x)+c+f(x)+c=2c成立。

結論5:已知函數f(x)是定義域D上的奇函數,則f(x)對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0成立。特別地,當奇函數f(x)在D上有最大值和最小值時,則f(x)max+f(x)min=0。

結論6:若函數f(x)為偶函數,則f(x)=f(|x|)成立。

證明:當x≥0 時,|x|=x,故f(x)=f(|x|);當x＜0時,f(|x|)=f(-x),由函數f(x)是偶函數,得f(-x)=f(x)。所以f(|x|)=f(x)成立。

例6已知函數f(x)=ln(1+|x|)-,若使得f(x)＞f(2x-1)恒成立,則參變量x的取值范圍為____。

解析:函數f(x)的定義域為R,且f(x)是偶函數,當x≥0 時,f(x)=ln(1+x)-,故f(x)是增函數,所以f(x)＞f(2x-1)?f(|x|)＞f(|2x-1|),所以|x|＞|2x-1|,故＜x＜1。

綜上所述,函數的最值、單調性、對稱性、中心對稱、奇偶性是高考考查的熱點,對同學們的綜合能力、創新能力有很高的要求,因此,在平常的學習過程中要認真總結歸納,不斷反思。