導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性易錯(cuò)題剖析

■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 孫英環(huán)

考綱要求了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)參數(shù)問(wèn)題。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。下面對(duì)同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)經(jīng)常失分的情況歸類總結(jié),以防高考時(shí)再出現(xiàn)此類錯(cuò)誤。

一、討論不含參函數(shù)的單調(diào)性

例1求f(x)=x3+的單調(diào)區(qū)間。

解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),f＇(x)=3x2-。

令f＇(x)＞0,得x＜-1 或x＞1;令f＇(x)＜0,得-1＜x＜1,且x≠0。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),(0,1)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論,還要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)。(2)單調(diào)區(qū)間不能取并集,應(yīng)該用“,”隔開或“和”字相連。

例2已知函數(shù)f(x)=,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

解析:f＇(x)=。

設(shè)h(x)=-lnx-1(x＞0),則h＇(x)=＜0。

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

由h(1)=0知,當(dāng)0＜x＜1時(shí),h(x)＞0,所以f＇(x)＞0;

當(dāng)x＞1時(shí),h(x)＜0,所以f＇(x)＜0。

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:不等式f＇(x)＞0的解集在定義域內(nèi)的部分為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;不等式f＇(x)＜0的解集在定義域內(nèi)的部分為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。本題不能直接解f＇(x)＞0,f＇(x)＜0,需構(gòu)造函數(shù)再次求導(dǎo)才可求出單調(diào)區(qū)間。

二、討論含參函數(shù)的單調(diào)性

例3若函數(shù)f(x)=x--alnx(a∈R),試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f＇(x)=1+。

令g(x)=x2-ax+1,則對(duì)于x2-ax+1=0,Δ=a2-4。

(1)若-2≤a≤2,則Δ≤0,f＇(x)≥0,只有當(dāng)a=2,x=1或a=-2,x=-1時(shí),等號(hào)成立,故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)若a＜-2,則Δ＞0,g(x)=0 的兩根都小于0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(x)＞1,f＇(x)＞0,故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

(3)若a＞2,則Δ＞0,g(x)=0 的兩根為。

當(dāng)0＜x＜x1時(shí),f＇(x)＞0;當(dāng)x1＜x＜x2時(shí),f＇(x)＜0;當(dāng)x＞x2時(shí),f＇(x)＞0。故函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減。

綜上,當(dāng)a≤2時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a＞2 時(shí),函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,通常歸結(jié)為求含參不等式的解集問(wèn)題。含參一元二次不等式問(wèn)題是熱點(diǎn),也是重點(diǎn),著重考查分類討論思想,而對(duì)含有參數(shù)的不等式問(wèn)題要針對(duì)具體情況進(jìn)行討論,但要始終注意定義域及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。(2)此題中g(shù)(x)=x2-ax+1,需對(duì)Δ=a2-4中的a的取值進(jìn)行分類討論,從而確定函數(shù)的單調(diào)性。

三、已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例4已知函數(shù)f(x)=x2+(x≠0,常數(shù)a∈R),若f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍。

解析:f＇(x)=2x-,要使f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則f＇(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即≥0 在[2,+∞)上恒成立。

因?yàn)閤＞0,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,所以a≤(2x3)min。

因?yàn)樵赱2,+∞)上y=2x3單調(diào)遞增,所以(2x3)min=16,所以a≤16。

當(dāng)a=16時(shí),f＇(x)=≥0(x∈[2,+∞)),有且只有f＇(2)=0。

所以a的取值范圍為a≤16。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)由單調(diào)性可得f＇(x)≥0或f＇(x)≤0 在相應(yīng)區(qū)間上恒成立,而不是f＇(x)＞0或f＇(x)＜0在相應(yīng)區(qū)間上恒成立,即f＇(x)＞0(f＇(x)＜0)是函數(shù)f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)的充分不必要條件。(2)對(duì)等號(hào)需單獨(dú)驗(yàn)證說(shuō)明,否則會(huì)扣分。

例5已知x=1是f(x)=2x++lnx的一個(gè)極值點(diǎn)。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-,若函數(shù)g(x)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)f(x)=2x++lnx的定義域?yàn)?0,+∞),f＇(x)=2-。

因?yàn)閤=1是f(x)=2x++lnx的一個(gè)極值點(diǎn),所以f＇(1)=0,即2-b+1=0,解得b=3,經(jīng)檢驗(yàn),適合題意,所以b=3。

所以f＇(x)=2-。

令f＇(x)＜0,得0＜x＜1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)。

(2)g(x)=f(x)-=2x+lnx-,g＇(x)=2+。

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,所以g＇(x)≥0 在[1,2]上恒成立,即2+≥0在[1,2]上恒成立,所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2]。

因?yàn)樵赱1,2]上,(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3。

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3,+∞)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:第(1)問(wèn)求出b的值后要檢驗(yàn)。第(2)問(wèn)由g＇(x)≥0在[1,2]上恒成立,可利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問(wèn)題。

例6已知g(x)=2x+lnx-在區(qū)間[1,2]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:g＇(x)=2+。

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上不單調(diào),所以g＇(x)=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)有解,則a=-2x2-x=在(1,2)內(nèi)有解,易知該函數(shù)在(1,2)上是減函數(shù),所以a=-2x2-x的值域?yàn)?-10,-3),

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-10,-3)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則可轉(zhuǎn)化為f＇(x)=0 在(a,b)上有解。

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的重要工具,所以同學(xué)們需要掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性相關(guān)問(wèn)題的基本思路、基本運(yùn)算技巧及運(yùn)算法則。另外,數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造新函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想可以化繁為簡(jiǎn),進(jìn)而準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。含參一元二次不等式問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn),也是重點(diǎn),著重考查分類討論思想,學(xué)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)求解一元二次不等式的熟練度。