函數的極值、最值易錯題剖析

■河南省許昌市建安區第一高級中學 蔡慧麗

函數的極值、最值是每年高考中都要考查的知識點,多出現在壓軸題的第一問,主要利用函數的單調性來解決此類問題。下面結合實際情況進行總結。

類型一、由極值求參數的范圍

例1若f(x)=x(x-c)2在x=1處有極小值,則實數c=______。

解析:f＇(x)=3x2-4cx+c2,因為x=1為極小值點,所以f＇(1)=3-4c+c2=0,解得c=1或c=3。代入進行檢驗:當c=1時,f＇(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),可得f(x)在和(1,+∞)上單調遞增,在上單調遞減,所以x=1為極小值點,符合題意;當c=3 時,f＇(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),可得f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減,所以x=1為極大值點,不符合題意。所以c=1。

易錯點分析:極小值是在極小值點處的函數值,其中極小值點的驗證容易被忽視。

例2設函數f(x)=(x-1)2+blnx,其中b為常數。若函數f(x)有極值點,求b的取值范圍及f(x)的極值點。

解析:函數f(x)的定義域為(0,+∞),f＇(x)=2(x-1)+,令f＇(x)=0,則2x2-2x+b=0。

因為f(x)有極值點,所以2x2-2x+b=0有正的實數根,設方程的根為x1,x2。

若有兩個極值點,則x1x2＞0,所以。

若有一個極值點,則x1x2=≤0?b≤0。

綜上可得,b的取值范圍為。

方程2x2-2x+b=0 的兩根為x=。

當0＜b＜時,x1=1-,x2=1+,故f(x)的單調區間為表1。

表1

所以f(x)的極大值點為x=1-,極小值點為x=1+。

當b≤0時,x1=1-＜0,x2=1+,故f(x)的單調區間為表2。

表2

所以f(x)的極小值點為x=1+,無極大值點。

綜上可得,當0＜b＜時,f(x)的極大值點為x=1-,極小值點為x=1+;當b≤0 時,f(x)的極小值點為x=1+,無極大值點。

例3已知函數f(x)=。

(1)討論函數f(x)的極值點;

(2)若函數f(x)的極大值大于1,求a的取值范圍。

解析:f＇(x)=(x-a)lnx+-ax+。

易錯點分析:極值點為一個實數,不是函數值,要明確是極大值點還是極小值點。

類型二、函數最值問題

例4已知函數f(x)=ax2-ln(x+1)。

(1)若f(x)是(-1,+∞)上的減函數,求實數a的取值范圍;

(2)當0＜a≤時,求函數f(x)在上的最小值。

解析:(1)f＇(x)=2ax-。

令g(x)=2ax2+2ax-1,因為f(x)是(-1,+∞)上的減函數,所以g(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立。

當a=0時,g(x)=-1＜0;

綜上可得,實數a的取值范圍為[-2,0]。

(2)由(1)知g(x)=2ax2+2ax-1,因為a＞0,所以Δ=4a2+8a＞0。

由g(x)=0,得x1=,x2=。

因為a＞0,所以x1＜-1,所以函數g(x)有唯一零點x2。

當x∈(-1,x2)時,g(x)＜0,即f＇(x)＜0,f(x)單調遞減;當x∈(x2,+∞)時,g(x)＞0,即f＇(x)＞0,f(x)單調遞增。

易錯點分析:求函數在無窮區間(或開區間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調性,并通過單調性和極值情況,畫出函數的大致圖像,然后借助圖像觀察得到函數的最值。

極值和最值既是重點又是難點,在復習的過程中,我們要盡可能地規范答題,提高有效得分,力爭在2022年高考中取得優異成績。