導數(shù)與函數(shù)的零點易錯題剖析

■河南省許昌市建安區(qū)第一高級中學 田吉龍

高考中函數(shù)的零點主要考查零點所在區(qū)間——零點存在性定理,數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中常用到函數(shù)的零點,方程思想,與圖像交點的轉(zhuǎn)化等知識。下面就函數(shù)的零點問題總結(jié)同學們的失分情況,為同學們的復習備考提供幫助。

題型一、判斷零點個數(shù)

例1設函數(shù)f(x)=lnx+,m∈R,討論函數(shù)g(x)=f＇(x)-的零點個數(shù)。

解析:由題設得g(x)=f＇(x)-。

令g(x)=0,得m=+x(x＞0)。

設φ(x)=+x(x＞0),則φ＇(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)。

當x∈(0,1)時,φ＇(x)＞0,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當x∈(1,+∞)時,φ＇(x)＜0,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

所以x=1是φ(x)的唯一極值點,且是極大值點,因此x=1是φ(x)的最大值點,所以φ(x)的最大值為φ(1)=。

作出φ(x)=+x(x＞0)的大致圖像,如圖1所示。

圖1

又φ(0)=0,結(jié)合y=φ(x)的圖像可知:

①當m＞時,函數(shù)g(x)無零點;

②當m=時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點;

③當0＜m＜時,函數(shù)g(x)有兩個零點;

④當m≤0時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點。

綜上可得,當m＞時,函數(shù)g(x)無零點;

當m=或m≤0時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點;

當0＜m＜時,函數(shù)g(x)有兩個零點。

易錯點分析:(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù),且必須在定義域內(nèi);(2)畫函數(shù)圖像時要注意最大值或者最小值,圖像是否與x軸有交點等特殊情況。

例2已知函數(shù)f(x)=exsinx(e是自然對數(shù)的底數(shù)),f＇(x)是f(x)的導函數(shù)。

(1)證明:當x∈時,f(x)+(xπ)·f＇(x)≥0;

(2)記g(x)=f(x)-ax,若0＜a＜3,討論g(x)在(0,π)上的零點個數(shù)。（參考數(shù)據(jù)≈4.8）

解析:(1)由題意得f＇(x)=ex(sinx+cosx)=。

當x∈時,要證f(x)+(x-π)·f＇(x)≥0,即證sinx-(sinx+cosx)(xπ)≥0。

設h(x)=sinx-(sinx+cosx)(xπ),x∈,則h＇(x)=cosx-(sinx+cosx)-(sinx-cosx)(x-π)=-sinx-(sinx-cosx)(x-π)＜0。

所以h(x)在區(qū)間上為減函數(shù),故h(x)≥h(π)=0,即原命題得證。

(2)由已知得g(x)=exsinx-ax,則g＇(x)=ex(sinx+cosx)-a。

設φ(x)=g＇(x),則φ＇(x)=2excosx。

當0＜x＜時,φ＇(x)＞0;當＜x＜π時,φ＇(x)＜0。

所以g＇(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

又g＇(0)=1-a,g＇(π)=-eπ-a＜0。

①若1-a≥0,即0＜a≤1,則g＇(0)≥0,故＞0,所以存在x0∈,使得g＇(x)=0。

當0＜x＜x0時,g＇(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;

當x0＜x＜π 時,g＇(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。

所以x=x0是g(x)的極大值點。

由g(0)=0,得g(x0)＞0,又g(π)=-aπ＜0,故由零點的存在性定理得g(x)在(0,π)上有且僅有一個零點。

②若1＜a＜3,則g＇(0)=1-a＜0。

因為g＇(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,所以存在,使得g＇(x1)=g＇(x2)=0,且當x∈(0,x1)或x∈(x2,π)時,g＇(x)＜0;當x∈(x1,x2)時,g＇(x)＞0。

故g(x)在(0,x1)和(x2,π)上單調(diào)遞減;在(x1,x2)上單調(diào)遞增。

因為g(0)=0,所以g(x1)＜0。

又g(π)=-aπ＜0,故由零點存在性定理得g(x)在(x1,x2)和(x2,π)上各有一個零點。

綜上可得,當0＜a≤1時,g(x)在(0,π)上有且僅有一個零點;

當1＜a＜3 時,g(x)在(0,π)上有兩個零點。

易錯點分析:先對函數(shù)求導,根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖像,然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸的交點問題,突出導數(shù)的工具作用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用。由f(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖像的交點問題。在判斷零點個數(shù)時要注意單調(diào)性與函數(shù)零點之間的聯(lián)系,單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點。

題型二、函數(shù)零點偏移問題

例3已知函數(shù)f(x)=-2lnx(a∈R,a≠0)。

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2(x1＜x2),且a=4,證明:x1+x2＞4。

解析:(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f＇(x)=。

若a＜0,則f＇(x)＜0,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以f(x)在(0,+∞)上無極值。

若a＞0,當x∈(0,)時,f＇(x)＜0,f(x)在(0,)上是減函數(shù);

當x∈(,+∞)時,f＇(x)＞0,f(x)在(,+∞)上是增函數(shù)。

故當x=時,f(x)在(0,+∞)上的極小值為=1-lna,無極大值。

(2)當a=4時,f(x)=-2lnx。

由(1)知,f(x)在(0,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),x=2是極值點,又x1,x2為函數(shù)f(x)的零點,所以0＜x1＜2＜x2,要證x1+x2＞4,只需證x2＞4-x1。

因為f(4-x1)=-2ln(4-x1)=-2x1+4-2ln(4-x1),又因為f(x1)=-2lnx1=0,所以f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1)。

令h(x)=2lnx-2x+4-2ln(4-x)(0＜x＜2),則h＇(x)=＞0。

所以h(x)在(0,2)上為增函數(shù),所以h(x)＜h(2)=0,所以f(4-x1)＜0=f(x2),所以4-x1＜x2,即x1+x2＞4,問題得證。

易錯點分析:(1)極值是函數(shù)在極值點處的函數(shù)值,注意與極值點的區(qū)分;(2)利用分析法證明零點偏移問題。如本題中,由x1,x2為函數(shù)f(x)的零點,可得0＜x1＜2＜x2,要證x1+x2＞4,只需證x2＞4-x1,f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1),利用代換使得兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變量,進而得到證明。

題型三、根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)

例4已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R)。若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在上有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍。

解析:由題意得g(x)=f(x)-ax+m=2lnx-x2+m,則g＇(x)=-2x。

因為x∈,所以由g＇(x)=0,得x=1。

當1＜x≤e時,g＇(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。

故當x=1 時,函數(shù)g(x)取得極大值g(1)=m-1。

故實數(shù)m的取值范圍為。

易錯點分析:結(jié)合函數(shù)圖像時要注意區(qū)間端點處的值是否能取到。

例5已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x),當x∈[1,3)時,f(x)=lnx,若在區(qū)間[1,9)內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍為()。

解析:因為f(x)=f(3x),所以f(x)=。當x∈[3,9)時,f(x)=,所以f(x)=由g(x)=f(x)-ax有三個不同的零點,可得y=f(x)與y=ax有三個不同的交點,如圖2所示,可知直線y=ax應在圖中兩條虛線之間,所以可解得。故選B。

圖2

易錯點分析:(1)畫出分段函數(shù)的解析式時要注意區(qū)間端點處的函數(shù)值,如本題如何利用f(x)=,已知x∈[1,3)時,f(x)的解析式,求x∈[3,9)時,f(x)的解析式。(2)注意斜率的幾何意義的應用。

函數(shù)的零點是近幾年高考的熱點問題之一,其中極值點或者零點偏移問題一般出現(xiàn)在壓軸題的位置,多以參數(shù)代換、函數(shù)單調(diào)性、極值等知識交匯考查;利用零點解決參數(shù)的問題多出現(xiàn)在選擇題或填空題中,難度以中檔為主,利用函數(shù)圖像(分段函數(shù)居多)解決參數(shù)問題。在備考中要注意特殊點的應用,以便更快捷地得到答案。