翻轉課堂在高等數學教學中的研究
——以“旋轉體的體積”為例

曾玲莉，任苗苗

（西北大學 數學學院，陜西西安 710127）

1 傳統高等數學教學現狀及問題

高等數學是很多高校開設的一門重要的公共基礎課，對理工科學生專業課程的學習影響較大。高等數學課程涉及的概念抽象、定理及性質邏輯推導強，學生在理解概念、實現定理應用、計算過程中有很大的困難。

（1）由于高等數學自身課程特點，使得部分學生的學習積極性不高，學習動力不足。首先，高等數學課程面向的是本科一年級的學生，他們的水平參差不齊，數學基礎和能力相差很大。再加之，高等數學的課程內容多、繁雜而且抽象，這對學生的抽象思維能力和邏輯推理能力要求更高。一些學生原本初等數學的基礎就差，進入大學后，沒有任課教師的隨時督促，課前不預習，上課對于課程內容的理解不到位，聽不懂，課后又不復習。時間長了就會使學生的學習積極性與自信心下降[1]。其次，高等數學的內容大多是理論推導，內容枯燥、乏味，很容易使學生缺乏學習興趣。再次，高等數學是一門公共課，面向的不是數學專業的學生，本課程內容在他們專業課程中的應用會相對滯后，這樣學生不會立刻體會高數課程的重要性，這些都影響了學習的積極性[2]。最后，教師在課堂上更多的是對高數的基本知識與理論進行傳播，對于作業的反饋以及學生的推理、解題能力等方面基本沒有時間指導。而學生在課下自覺學習的積極性又不足，從而導致對基本知識掌握得不好，會對高等數學后期課程的學習有一定影響。

（2）課堂的引導者——教師的綜合教學能力也有待提高。高等數學涉及的內容多，需要的課時長，大多數教師把精力投入到知識點的講解上，很難既完成教學任務，又充分調動學生積極性，未能及時反饋學生的問題，課堂很容易沉悶[3]。同時，高等數學教師的數學基礎知識很扎實，理論推導邏輯性強，但與其他專業課程的聯系與應用了解甚少，不能很好地讓學生體會高等數學這門課在學生各專業中的應用，從而不能充分感受高等數學的重要性，學習積極性不高。

（3）教學評價有待完善。高等數學課程傳統的考評方式就是期中考試與期末考試。很多學生平時不認真學習，作業應付，等到臨近考試的前兩周，臨時抱佛腳，導致知識點不理解，內容不易消化，掛科率高。這種只體現終結性結果的考評方式，不利于督促學生平時的學習，以及學習興趣和參與課堂活動積極性的提高。

2 采用翻轉課堂教學模式的意義

高等數學教學現狀和問題，使我們意識到傳統的高等數學教學方式有很多需要改進的地方。如何調動學生的學習積極性，把要我學變成我要學、我愛學；如何把枯燥、沉悶的課堂，變成學生積極參與、主動分享的活躍課堂，是解決問題的關鍵所在。而翻轉課堂教學模式可以很好地解決以上問題，彌補傳統教學的不足。

翻轉課堂是指課前教師錄制教學視頻或者提供優質教學資源，學生提前在相關教學平臺上自主學習，自主探索。課堂上，通過師生互動、小組合作等多種教學形式，循序漸進地傳授教學內容，實現知識點內化[4]。這是一種“課前學習、課上互動解決問題”的教學模式，它翻轉了傳統教學的“課上授課、課下作業”的教學模式[5]。上課前，將所講內容涉及的知識儲備，以微視頻的方式上傳至雨課堂或超星學習通等教學平臺，供學生課前觀看，課堂上讓學生分享討論，充分參與互動，解決課前自主學習部分的遺留問題，且將內容進行延伸拓展，避免傳統教學單一、乏味的課堂氛圍，真正實現以學生為中心，讓其主動學、熱愛學。

3 翻轉課堂在高等數學課程教學中的實例應用——“旋轉體的體積”

高等數學的教學內容多，課程學時長，下面以“旋轉體的體積”為例進行詳細講解，闡述翻轉課堂在高等數學教學過程中的具體應用。

3.1 準備階段

這個階段教師要確定教學目標、優化教學內容、設計教學資源。

（1）確定教學目標。考慮到學生對“旋轉體”在中學階段的認知水平，以及已學習的定積分的概念和基本運算，將本節課的教學目標定為：

知識目標：①理解微元法的基本思想；②掌握旋轉體體積的計算。

能力目標：①培養學生幾何觀察能力、從特殊到一般的邏輯分析能力以及總結歸納能力；②提升自主學習，合作探索的能力。

情感目標：①通過我國的航天探月工程，增強學生愛國主義情懷；②揭示微元法本質，培養學生唯物辯證主義思想。

（2）優化教學內容。除了教材要求的基本教學內容：會求旋轉軸為X 軸、Y 軸時旋轉體的體積。我們還將教學內容進行了拓展，探討旋轉軸不是坐標軸，但平行于坐標軸的情形。以及旋轉軸為任意一條直線時的情形。同時會適當融入思政育人元素。

（3）設計教學資源。根據教學目標及內容設計好輔助視頻資源以及練習題、思考題。

3.2 課前學習資源、自主探索

課前，教師將神舟十三號載人飛船發射視頻以及課程相關微視頻上傳至超星學習通的資源庫，請學生課前觀看。并回答以下問題：

（1）航天設備的構成部分，大多數是什么幾何體？

（2）旋轉體的定義是什么？請查閱資料。

（3）你知道的計算體積的方法有哪些？

（4）旋轉體的體積該如何求解？提示：微元法。

設計意圖：對祖國航天事業的關注，增強學生愛國主義情懷。同時，設計以上層層遞進的問題，翻轉課堂，讓學生主動學習、自主探索，用問題驅動提高學生學習積極性。

3.3 課中生生合作、師生互動

有了課前的準備，翻轉課堂的課中教學活動我們這樣設計。

（1）分享交流。讓學生分享觀看神舟十三號發射視頻的感受，活躍課堂氣氛。

（2）知識再現。針對第二部分的問題：什么是旋轉體，什么是微元法？學生在課前已經進行自我探索，有了初步答案，教師在課堂教學過程中要重現知識點，但是時間不宜長，提綱挈領即可。

（3）小組合作。將學生進行分組，要求循序漸進，緊扣教學內容的問題：

①問題一：旋轉軸為x 軸時，旋轉體體積的計算公式？

②問題二：旋轉軸為y 軸時，旋轉體體積的計算公式？

③問題三：旋轉軸平行于坐標軸時，旋轉體體積的計算公式？

讓學生通過小組協作，分工合作，共同探討完成目標任務。這個過程可以讓學生對課前自我探索部分進行反饋，小組交流合作解決之前遇到的問題，深入思考，提高發現問題、解決問題以及自主創新的能力。教師也將參與小組的討論，對正確的思路方法予以肯定，對存在的問題及時指正、反饋，循序漸進地引導和啟發學生探究每種情形下旋轉體體積的計算公式。

（4）GeoGebra 繪圖，實踐操作。

針對旋轉體這個特殊的幾何研究對象，本節課還有一個創新點，就是利用GeoGebra 軟件繪制幾何動圖（見圖1），這些動圖可以幫助學生更直觀地理解旋轉體的形成過程，激發他們的學習興趣。而且，教師不只是提供這些動圖，還讓學生參與其中，指導學生自己動手操作，完成繪圖。這樣的課堂真正實現了讓學生動起來、讓課堂活起來的以學生為中心的教學理念。

圖1 旋轉體演示圖

（5）互評自評，教師總評。

小組合作得到討論結果后，進行生生點評，包括小組與小組之間的互評和組內自評。最后，教師根據點評結果進行總評以及課堂總結。并適當引入思政元素：求解旋轉體體積用的微元法，蘊含唯物辯證法的兩大規律，對立統一規律與量變質變規律。

設計意圖：翻轉課堂的優勢是讓學生課前自主學習，延伸有效的學習時間，這樣教師在課堂教學過程中，就可以有針對性地進行講解，提高教學效果。而且，教師有更充裕的時間組織各種豐富多彩的教學活動，調動學生的學習積極性，提高他們解決問題的能力及創新實踐的能力。同時，適當融入思政元素，提高學生辯證的哲學思想。

3.4 課后拓展延伸、教學評價

課后留一道開放性的思考題：旋轉軸不平行于坐標軸時，旋轉體體積的如何計算？鼓勵大家查閱資料，實現網絡學習。

教學評價，我們采用的是多維多元過程性評價和定性定量終結性評價相結合的方式[6]。其中過程性評價包括：主題分享，課堂討論，隨堂測試，課后作業。主題分享與課堂討論更能體現學生對課堂活動的參與度，所以占比會相對高一點。終結性評價指的是期中與期末考試。

4 教學反饋

目前，教學團隊在高等數學課程中應用翻轉課程的教學方式已有兩年。經過對我校2020 級和2021 級兩屆學生的實踐，發現學生高等數學的學習成績有很大提升，優秀率比改革前平均增加5%，不及格率下降10%。同時，學生學習興趣提高，不但出勤率、抬頭率增加，而且參與課堂活動的積極性也顯著增加。最后，創新實踐能力加強。很多理工科的學生都積極參加全國大學生數學建模競賽，并且取得優異成績。

5 結語

高等數學課程的傳統教學模式存在很多問題，翻轉課堂教學方式是對傳統課堂教學的有益變革，可以有效彌補傳統教學模式的不足。實踐證明，采用課堂翻轉教學模式，合理利用網絡資源，精心設計讓學生動起來、讓課堂活起來的教學過程，可以很好地提高學生的學習積極性，加強創新實踐能力培養。教師把握翻轉課堂的精髓，堅持以學生為中心的教學理念，能夠提高高等數學教學質量，促進學生的全面可持續發展。