解三角形的五種意識與備考建議

廣東 劉光明

解三角形知識是全國卷歷年高考的必考知識，試題難度中等，要求思維靈活.一方面，《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》明確要求“借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.”在教學建議中，提出“引導學生運用向量解決一些幾何問題”.另一方面，2019年版人教A版新教材中余弦定理、正弦定理的內容安排與原教材相比變化較大：一個變化是這個內容不獨立成章，而是平面向量的一部分；另一個變化是余弦定理、正弦定理都用向量方法證明.

基于新課標的要求和新教材的導向，結合高三復習教學實踐，處理解三角形問題一般可以從定理、幾何、解析、基底和轉化五個方面進行探索，下面結合以下例題進行闡述，以期拋磚引玉.

(1)求c；

(2)設D為BC邊上一點, 且AD⊥AC, 求△ABD的面積.

一、定理意識

所謂定理意識就是指借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、射影定理以及三角形內角和定理等與三角形相關的定理實現“邊化角”或者“角化邊”進行解三角形的自然思維.余弦定理、正弦定理是解三角形的依據，通過由已知元素定量計算其他元素把握三角形這個基本圖形，故而定理意識是解三角形的常規認知.

方法1：余弦定理

方法2：正弦定理

點評：同樣關注到了兩角互補這一幾何特征，但方法2正弦定理的運算顯然要比方法1簡潔，因此在定理使用過程中也需要不斷嘗試，合理取舍.

二、幾何意識

幾何意識是指根據三角形的幾何特征，通過合理構造直角三角形、外接圓、平行四邊形等特殊的幾何圖形，利用幾何關系進行解三角形的理性認知.三角形本身就是一個幾何圖形，聯想到幾何意識解三角形也是直觀想象核心素養的自然呈現.

方法3：構造直角三角形

點評：作垂線，一般三角形就能夠回歸到最熟悉的直角三角形，加之題干中AD⊥AC，構造垂線之后不僅有垂線，還有平行線，更增加了線段間的比例.充分借助已知的角和邊，再加一個直角，解三角形便順其自然.

方法4：構造平行四邊形

點評：通過作平行線構造平行四邊形，根據平行四邊形的性質求解邊角關系也是一種巧妙方式，并且從中可以窺探三角形試題的命題思路——從平行四邊形中截取一個三角形.

方法5：重心性質

點評：聯想到重心性質其實是受到前面求解中點D的啟發，才會去思考能不能直接證明重心，從而推導出中線，判斷出點D是中點.如果沒有前面的思考，此想法不會那么容易獨立發現.

方法6：構造外接圓

從上述方法3至方法6的推理中不難發現，充分挖掘三角形中的垂直、平行、相似等幾何條件，通過作垂線、作圓等輔助方式能夠得到邊角的等量關系，通過解方程求解出相應的量.但幾何關系的尋找要求初中平面幾何知識非常扎實，同時直觀想象核心素養要求也較高.

三、解析意識

解析意識就是建立坐標系，點坐標化后將幾何問題轉化為代數運算處理的數形結合思維.三角形是平面幾何圖形，建立平面直角坐標系后，三角形的頂點都能夠用坐標表示出來，再結合解析幾何相關的軌跡方程、直線方程、直線與曲線位置關系等知識可進行代數化運算得到結果.

方法7：建系坐標解析法

點評：充分利用幾何圖形中的垂直關系建立平面直角坐標系，使得盡可能多的點落在坐標軸上，這是建系的原則.建系后，點坐標化，未知點則需要假設，然后將條件和結論都翻譯成坐標形式，根據解析幾何知識進行處理即可.

四、向量基底意識

向量具有明確的幾何背景，向量的運算具有明顯的幾何意義，涉及長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運算得到解決.因此引導學生應用向量解決幾何問題，讓學生掌握平面幾何的向量方法.向量基底意識就是選擇一組基底，把所要求解的量轉化為基底表示，將幾何問題轉化為向量問題，借助向量的運算解決幾何問題的意識.這種方法關鍵在選擇合理的基底，難點在幾何與向量間的轉化，完美實現了數與形的結合.

方法8：向量基底法

五、轉化意識

解三角形中的轉化意識就是將所要直接求解的結論，通過借助其他相關的圖形間接求解結論的一種思維意識，也是解決數學問題比較常見的思考方向.

方法9：借助面積比

點評：本題中最關鍵也是最難求解的量就是AD的長度，通過與公共邊AD相關的兩個三角形的面積比巧妙化解求未知量的困境.

相關試題鏈接：

【題1】(2021·新高考Ⅰ卷·19)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b； (2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

【題2】(2022·山東德州高三12月聯考·18)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知c2=ab，點D是邊AB的中點，CDsin∠ACB=asinB．

(1)證明：CD=c；

(2)求cos∠ACB.

六、備考建議

1.關注定理的生成過程，重視知識的本質

高三解三角形復習課雖是溫習所學過的知識，但更是對解三角形的重新認識，對解三角形本質的再升華.因此解三角形復習課需要數學問題驅動定理生成過程的回顧，需要單元主題的視角構建知識網絡，進一步促進解三角形本質的認識.如，以問題“敘述并證明正弦定理和余弦定理”“為什么大邊對大角？”“為什么兩邊之和大于第三邊”等回顧正弦定理和余弦定理的內容和證明定理的思想方法，并運用定理證明一些常用結論，構建知識體系的同時也感悟解三角形的基本思考方向.

2.樹立經典三角模型意識，加強知識間聯系與整合

三角形這個幾何圖形不是孤立存在的，平面向量、解析幾何、立體幾何甚至數列主題知識的考查都會不經意間用到解三角形的知識.因此在三角形復習中，要提煉一些經典模型，如文中例題和2021年新高考Ⅰ卷解三角形試題，都是用到互補角這一“爪子模型”，另外還有“隱圓模型”“角平分線”模型等.通過識別常見三角形命題情境，快速尋找破題思路.適當引入相關知識的交匯情境，讓學生更能夠意識到三角形的地位，也體會到“四層”“四翼”的高考要求.

3.夯實幾何直觀素養，加強運算能力培養

三角形是一個簡單卻又充滿魅力的幾何圖形，從幾何關系的角度能夠解決的問題通常都不會進行代數運算.作垂線構造直角三角形、將不規整圖形進行割補整合成規整圖形、利用三角形外接圓等常見幾何方式能夠孕育學生的直觀想象核心素養，也為解三角形簡化運算程序，由形得到數的結論.但也常常遇到方程組的求解，不能繞開計算，故而復習過程中強調方法的同時也要注重計算能力的訓練.

4.重視思維的靈活度，提升深度復習質量

解三角形復習課不能僅僅停留在正弦定理和余弦定理這一狹窄的思維空間里，與其他知識復習一樣，需要探索一題多解，拓寬思維的廣度，增強知識間的關聯度，達到知識本質學習的深度.向量和三角形的融合，實現了數與形的完美結合，更能體現向量的工具性，也為解三角形插上翱翔的翅膀.通過“解三角形基本意識”“三角形中的范圍問題”“三角形面積問題”等微專題突破解三角形主題知識的復習，以微視角專注提升深度復習的質量.

5.明晰學生易犯錯誤，規范解三角形的過程表達

大部分學生還是有信心去解答解三角形試題的，主干知識和常規解法都不會存在太大問題，但細節的處理上面還是經常會出現一些小問題，如“忽略角的范圍”“角的單位不統一”“定理內容不完整”“方程組求不出來解”等.復習解三角形主題知識時，不要有僥幸或者不屑的思想，踏踏實實嚴抓學生的規范表述能夠為高考增添更多光彩，為數學思維嚴謹性訓練提供沃土.