蝴蝶定理的妙用及變式推廣

吳宏考

(浙江省寧波市北侖區明港高級中學,315800)

一、理論背景

1.圓中的蝴蝶定理

蝴蝶定理是平面幾何中最優美的結論之一,這個定理因圖形像一只蝴蝶而得名.該定理的證明有較多方法,這里介紹簡便易懂的面積法證明[2].

蝴蝶定理如圖1,點M是圓O中弦AB的中點,CD,GH是過點M的兩條弦,連結CH,DG分別交AB于點P,Q,則MP=MQ.

如圖2,連結AH,AC,BG,BD,由面積及相似三角形關系,可得

綜上,得證.

2.橢圓中的蝴蝶定理

推廣1如圖3,AB是二次曲線Ω的一條弦,O是AB的中點,過O作Ω的兩條弦CD和EF,其中C,E位于AB的同一側,直線CF和DE分別交AB于點P,Q,則有OP=OQ.

證明建立直角坐標系如圖3,不妨設A(-m,0),B(m,0),P(xp,0),Q(xQ,0),由于二次曲線過點A,B則可設二次曲線的方程為

x2+uy2+vxy+wy-m2=0.

另設直線CD,EF的方程分別為y=k1x,y=k2x,則過點C,D,E,F的二次曲線為x2+uy2+vxy+wy-m2+λ(k1x-y)(k2x-y)=0,其中λ為實數.

令y=0,則有xP,xQ是方程(1+λk1k2)x2-m2=0的兩個根.由韋達定理,可知xP+xQ=0,故OP=OQ.結論得證.

二、應用舉例

筆者在解題中發現,解析幾何中有些與比值有關的問題,如果運用“蝴蝶定理”會更加容易解決,不僅使得計算大大簡化,而且可以窺視命題的出發點與根源,深化我們對問題本源的理解與把握.

(1)求橢圓C的方程;

評注此題有較多解法,文[3]提供了3種解法從計算量來說本解法直接由蝴蝶定理來思考,可做到一步到位.

(1)設動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡;

(3)設t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).

三、蝴蝶定理的變式推廣

推廣2在橢圓中,過弦AB的端點作曲線的切線相交于點M,過點M作直線l∥AB,CD,EF為過點M的兩條弦,直線CE,DF交直線l于點P,Q,則有MP=MQ.

證明如圖6,以點M為原點,以直線l為y軸建立平面直角坐……