用RMI原理與仿射變換解決橢圓問(wèn)題

陳 倩

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

一、RMI原理簡(jiǎn)介

RMI原理是我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授提出的一種處理問(wèn)題的普遍方法或準(zhǔn)則,即關(guān)系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion)原則.具體表述為:它通過(guò)某種映射φ,將一個(gè)較為復(fù)雜的系統(tǒng)S(原象系統(tǒng))映射為一個(gè)新的簡(jiǎn)單的系統(tǒng)S*(映射系統(tǒng)),在新系統(tǒng)S*中處理好對(duì)應(yīng)關(guān)系并得到問(wèn)題的解x*,再通過(guò)逆映射φ-1反演到原問(wèn)題的解x.

二、RMI原理在橢圓問(wèn)題中的映射途徑分析

就橢圓問(wèn)題而言,可以利用RMI原理將橢圓問(wèn)題映射為圓的問(wèn)題進(jìn)行討論,進(jìn)而借助圓中良好的幾何性質(zhì)解題,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.

(4)共線三點(diǎn)在變換前后保持共線關(guān)系不變,且共線的線段長(zhǎng)度之比不變.

總之,在RMI原理下利用仿射變換解決橢圓問(wèn)題,其一般模式如圖1所示.

圖1

三、應(yīng)用舉例

(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線;

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(i)證明:?PQG是直角三角形;

(ii)略.

評(píng)注本題第(2)問(wèn)通過(guò)仿射變換φ1,將橢圓的內(nèi)接三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化到輔助圓中,借助象點(diǎn)P′,Q′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及P′Q′為圓的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,利用斜率輕松獲得kP′Q′kP′G′=-2(定值),最后由仿射變換關(guān)于斜率的結(jié)論反饋到橢圓中,使問(wèn)題順利獲證.

例2(2008年全國(guó)高考題)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于點(diǎn)E,F兩點(diǎn).

(2)求四邊形AEBF面積的最大值.

評(píng)注本題通過(guò)仿射變換φ2,將橢圓的內(nèi)接三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化到輔助圓中，根據(jù)相交弦定理……