絕對值三角不等式及其應用

任 宏

(內蒙古北方重工業集團有限公司第三中學，014030)

絕對值三角不等式是一類特殊的不等式,它反映的是實數和與差的絕對值和絕對值的和差之間的關系,是處理含絕對值問題的重要工具,在許多問題中都有著重要的應用.

一、絕對值三角不等式的幾何背景

絕對值三角不等式的幾何背景就是關于向量的三角不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.實際上，用向量a，b替換實數a,b時，問題就從一維擴展到二維.(1)當向量a，b不共線時，a+b，a，b構成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊可知|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|.(2)當向量a，b共線時，若a，b同向(相當于ab≥0)，則|a+b|=|a|+|b|,若a，b反向(相當于ab<0)，則|a+b|<|a|+|b|.

二、絕對值三角不等式的推廣

(1)把三角不等式中的兩個實數相加推廣到兩個實數相減，得到|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

(2)推廣到多個實數相加，則有|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|,當且僅當a1,a2,…,an同號或至少有一個為零其余同號時等號成立.

三、應用舉例

1.求解最值問題

絕對值三角不等式常用來處理與最值有關的問題,重點是多個絕對值之和(差)的問題.在應用時,要把a±b變為常數,同時等號能取到.

例1若關于x的不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解，記實數t的最大值為T.

(1)求T的值；

解(1)因為|x-1|-|x+4|≤|(x-1)-(x+4)|=5,x=-5時取等號，故(|x-1|-|x+4|)max=5.

又由|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解，可得|t+1|≤5,解得-6≤t≤4.

故實數t的最大值T=4.

評注第(1)問首先利用絕對值三角不等式求得|x-1-|x+4|的最大值,然后將不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解轉化為關于t的絕對值不等式求解，從而得到結論.求解的關鍵是不要將“不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解”與“不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|恒成立”混淆,否則就會出現錯誤.

例2已知函數

f(x)=|x+3|-|x-1|.

(1)解關于x的不等式f(x)≥x+1;

(2)若f(x)的最大值為M,a>0,b>0,且(a+1)(b+1)=M,求a+b的最小值.

解(1)(-∞,-5]∪[-1,3].(過程略)

評注第(2)問利用絕對值三角不等式求得函數f(x)的最大值M是解題的基礎,比分類討論去掉絕……