實施降冪策略 優(yōu)化問題化歸

姚星桃

(江蘇省揚州市職業(yè)大學數(shù)學科學學院,225000)

化歸是一種數(shù)學思想方法,是一種思維方式,在學習心理學意義下,化歸又是一種學習活動.姬梁飛在文[1]中指出:化歸是由目標、對象、性質(zhì)、特征、方法等要素構(gòu)成,聯(lián)系、變維、映射及類化是化歸的四大特征,其中“降維”是化歸的核心[1]. 這里“降維”就是將復雜問題轉(zhuǎn)為為簡單問題的方法,如三角函數(shù)中的降冪、解方程中的消元、空間幾何問題平面化,利用同解變形化三角方程、指數(shù)方程和對數(shù)方程為簡單方程等.特殊地,將高次的問題化歸為較低次的類似問題來研究稱為降冪.降冪在解題中有著廣泛的應用.本文探討一些降冪方法,研究其在化歸解題中的作用.

一、巧用降冪方法

降冪是化歸解題過程中的核心,靈活運用這種降冪的方法解題,則能收到滿意的效果.

1.使用公式降冪

分析直接利用降冪公式,結(jié)合誘導公式加以轉(zhuǎn)化,就能順利解題.

變式1(1995年全國高考題)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.

分析本題雖然可以采用構(gòu)造法、幾何法等方法求解,但都相對復雜,而利用降冪公式和積化和差公式可迎刃而解.

分析從條件和結(jié)論之間的差異看,本題可通過平方關(guān)系及降冪公式將其降冪且倍角,得到解題的目的.

2.用變量代換降冪

化歸起始于聯(lián)系,這種聯(lián)系存在于數(shù)學對象內(nèi)部或不同數(shù)學對象之間,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.化歸的實現(xiàn)必須將研究問題予以分解、重組及類化,要具有豐富的聯(lián)想,善于發(fā)掘事物……