例談同構思想在數學解題中的應用

盧恩良

(江西省九江市第三中學，332000)

一、在數列中的應用

數列遞推技巧的核心本質是同構,對于等差、等比型的數列問題,利用所給遞推公式依序同構,是解題思路形成的理論依據.

(1)若數列{an+1+λan}是等比數列,求實數λ;

(2)略.

(1)證明:{bn}是等差數列;

(2)略.

解由bn=3nan,要證{bn}是等差數列,只要證3n+1an+1-3nan為常數.由3n+1an+1與3nan結構相同,為了配出3n+1an+1,對條件等式兩邊同乘以3n,得3n+1an+1=3nan+1,即3n+1an+1-3nan=1,所以{bn}為等差數列.

例3若數列{an}滿足a1=1,nan+1-(n+1)an=0(n∈N*),求數列{an}的通項公式.

評注比較可見解法2顯得簡潔高效,這就是同構思想的威力所在.

二、在方程中的應用

例5已知x,y∈R,且滿足(x-1)5+2x+sin(x-1)=3,(y-1)5+2y+sin(y-1)=1,求x+y的值.

解觀察發現兩個方程左邊結構相同,但單個方程中的變量x和y結構并不一致,因此考慮將題設方程化為

設h(x)=x5+2x+sinx,則h(x-1)=1,h(y-1)=-1.因為h(x)為奇函數,所以h(x)+h(-x)=0.又h′(x)=5x4+2+cosx>0,h(x)為增函數, 結合h(x-1)+h(y-1)=0,得x-1+y-1=0,即x+y=2.

例6已知x0是方程x2ex-2+lnx-2=0的一個根,求e2-x0+lnx0的值.

評注同構思想在方程中的應用,往往會和函數的單調性與奇偶性一起考察.當遇到含有指數和對數結構的方程時,需要靈活運用指數對數運算公式.

三、在不等式中的應用

在遇到含有雙變量的不等式問題時,利用同構思想將不等式兩邊化為結構相同的兩部分,再結合函數的性質處理,往往能達到意想不到的效果.

例7(2020年全國高考題)若2x-2y<3-x-3-y,則( )

(A)ln(y-x+1)>0

(B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|x-y|>0

(D)ln|x-y|<0

解依題意,2x-3-x<2y-3-y,觀察不等式兩邊結構一致,可設h(x)=2x-3-x,則h(x)1,有ln(y-x+1)>0成立.故選A.

變式1(2020年全國高考題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

提示方程同構變形得2a+log2a=22b+log2b.設h(x)=2x+log2x,利用h(x)單調增及log2b

綜上,可得m≥1.

四、在函數與導數中的應用

含有參數的不等式成立問題是高考的熱點和難點問題. 求解此類問題有時候采用分離參數法或分類討論，難度較大,甚至無法……