增量代換法求解零點不等式問題

王國軍 吳瑞環

(河北省石家莊市第二中學，050000)

導數是研究函數性質的核心工具,在研究函數性質的過程中,零點是最為核心和關鍵的問題.近幾年,零點問題是高考和模擬考試的熱點問題,一類涉及函數零點的不等式備受命題人青睞,成為理所當然的把關壓軸題.學生對于這類問題并不陌生,也知道需要消元轉化為一元函數不等式求解.但如何才能將不能顯性表示的零點表示出來,成為壓倒駱駝的最后一根稻草.本文挑選幾例模擬試題,給出增量代換法表示零點的可操作性過程,供大家高三復習備考.

一、增量法解決零點問題的過程

先用一道高考真題,給出增量代換法解決問題的具體過程.

例1(2010天津高考題)設函數f(x)=xe-x,x∈R.若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求證:x1+x2>2.

分析由已知條件得到一個方程,且含有超越結構,此時x1,x2無法具體表示出來;為表示出x1,x2,需要借助x1,x2之間的新的運算關系,構造方程組求解.

解不妨設x1

第一步:引入參數t作為增量.

第二步:用增量表示零點x1,x2.

第三步:將多元不等式轉化為關于增量的一元函數不等式.

第四步:證明一元函數不等式,使問題獲解.

所以g(t)>2,即x1+x2>2.得證.

二、增量引入的常見方法

1.利用零點之比,引入增量參數

例2已知函數f(x)=lnx-ax+1(a∈R).

(1)討論函數f(x)的單調性;

分析第(1)問需對參數進行簡單的分類討論;第(2)問要能想到對目標不等式取自然對數進行轉化,再利用增量代換法處理.

解(1)當a≤0時,易見函數f(x)在(0,+∞)單調增.

例3已知函數f(x)=lnx-ax+2(a∈R)有兩個零點x1,x2.

(1)求實數的取值范圍;

解(1)(0，e).(過程略)

綜上,得證.

2……