利用基本不等式求最值的常用變形策略

平麗敏

(江蘇省揚州市新華中學，225009)

“不等式”在新教材蘇教版必修一的第三章,教學要求是讓學生再次理解不等式的概念,掌握不等式的性質,進而研究基本不等式的證明和應用.不等式也是高考的熱點和重點內容,能有效考查學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養,其地位舉足輕重.利用基本不等式求最值時應具備“一正,二定,三相等”的三個條件,但很多情況下直觀上看問題時都不滿足上述三個條件,需要作適當變形,創造條件后再利用基本不等式求解.高一學生在學習這部分內容時,對如何變形常常感到困惑.本文結合實例介紹一些常用的變形策略.

一、雙變量問題消元法

分析本題是求和的最小值,但直觀上看問題并不滿足基本不等式的條件,其積不是定值.當條件和目標的關系不清晰時,可用消元法減少變量,使關系更簡單.

評注如果待求式中含有兩個或多個變量,有時可以根據變量的關系進行消元,達到減元求解的目標,化解問題的難點.

二、乘“1”之后代換法

變式若正數x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.

評注“1”的代換法是湊成基本不等式條件的關鍵,也是利用基本不等式求最值的常用方法之一.

三、引進常數配湊法

例3已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為( )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

分析問題要求和的最小值,但條件不是積為定值,無法直接運用基本不等式求解.若注意到條件等式為二次三項式,因式分解可將條件變形為(x+1)(2y+1)=9的形式,再將目標函數寫成(x+1)+(2y+1)-2的形式,就為利用……