重視“以退為進”策略滲透 升華學生數學核心素養
——以高三“數列”復習為例

甘肅 焦永垚

“以退為進”是高中階段一種重要的解題策略，在解決復雜問題A時，教師可以先引導學生“退”到他們有所認識且較為簡單的問題B中，讓學生真正認清問題的本質，從而自然而然地解決了復雜問題A，這一過程可以簡單地用如圖所示的流程圖表示：

高三數學復習教學要重視以退為進解題策略的滲透，這對學生而言，不僅是解題方法的培養，而且是創新能力的培養，可以有效地升華學生數學核心素養.

1.重視“模型思想”滲透，在“以退為進”中“退”出境界，解的完美

“模型思想”是數學核心素養的重要內涵，“模型思想”不僅能為我們快速探明解題方向，而且還能有效簡化解題途徑.例如，我們經常利用放縮法證明數列求和型不等式，這類問題的難點是學生不知道往哪個方向放縮或怎樣放縮，但有一個目標是統一的，就是將不可求和的數列問題化為可求和的數列問題，這就需要我們合理地“退”，將問題“退”為一個學生所熟悉的數列模型，如等差數列模型、等比數列模型或能夠裂項相消求和的數列模型等等，因此學生在熟練掌握一些數列求和模型的基礎上，還要學會怎么“退”，往哪個方向“退”，只有掌握了這些方法才能退出境界，解的完美.

【案例1】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

視角一：“退”為一個等比數列

視角二：“退”為一個能“裂項相消”求和的數列

當n≥2時，

視角三：把求和問題“退”為比較兩個數列對應項的大小的問題

策略1：執果索因，逆推探源

策略2：逆用累加法

2.理解問題的本質和知識間的內在聯系，“退”出創新，“退”出精彩

常數列是在所有數列中屬于最平常最簡單的一類，對于一些求數列的通項公式或數列求和的問題，只要學生能夠理解問題的本質及數列知識間的內在聯系，能將所求的數列的通項或前n項和“退”為一個常數列，這樣不僅使問題變得簡單，而且還“退”出了創新，“退”出了精彩.

【案例2】(2020·全國卷Ⅲ理·17)設數列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(1)計算a2,a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

(2)求數列{2nan}的前n項和Sn.

分析：(1)易得a2=5，a3=7，由此猜想an=2n+1，下面分析如何證明：

對于第(2)問，我們也可以嘗試將Sn“退”為一個常數列.由⑴可得2nan=(2n+1)·2n，設bn=(2n+1)·2n，則

bn+1-bn=(2n+3)·2n+1-(2n+1)·2n

=(2n+5)·2n

=(2n+1)·2n+2n+2

=bn+2n+2，

即bn=bn+1-bn-2n+2，這樣我們就找到了一個bn+1和bn的關系式，因為當n≥2時，bn=Sn-Sn-1，如果忽略bn=bn+1-bn-2n+2中的“-2n+2”，則有Sn-bn+1=Sn-1-bn(即數列{Sn-bn+1}為一個常數列)，而“2n+2”為一個以2為底的指數式，我們將其“分攤”給等式Sn-bn+1=Sn-1-bn的兩邊，這個“分攤”也可以由待定系數法實現：

設Sn-bn+1+λ·2n+1=Sn-1-bn+λ·2n，則bn=Sn-Sn-1=bn+1-bn-λ·2n，與bn=bn+1-bn-2n+2比較可得λ·2n=2n+2，解得λ=4，于是Sn-bn+1+4·2n+1=Sn-1-bn+4·2n，且S1-b2+4×22=2，所以數列{Sn-bn+1+4·2n+1}是各項為2的常數列，則Sn-bn+1+4·2n+1=2，所以Sn=bn+1-4·2n+1+2=2+(2n-1)2n+1.

該題的兩問分別為求數列的通項公式和前n項和，第(1)問也可以先猜出通項公式后再用數學歸納法證明，第(2)問也可用學生熟知的“錯位相減法”解決，但上述解法中我們都將所求數列“退”為一個常數列再解決，思維具有創新性，解答完給人一種“酣暢淋漓”的感覺，既如魚得水，又勢如破竹，而且這樣的解題也有利于培養學生良好的創新思維與發散思維，有利于提升學生的數學核心素養.而利用數學歸納法和錯位相減法解決問題，結論雖然正確，但僅表現為具體解題的一招一式，思維仍然停留在感性認識和簡單應用的階段，尤其對于一些非常復雜的問題，兩種思維的差距就會明顯拉大.

3.“退”到最原始的地方，才能看清問題的真諦

著名數學家華羅庚說過:“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅”.對于一些復雜的問題，當從正面直接去解決有困難時，我們可以從最簡單的特殊情況入手，一步一步進行嘗試，抽絲剝繭，再堅持一步興許就會豁然開朗，柳暗花明.有些復雜問題只有退到最原始的地方，才能看清問題的真諦.

【案例3】(2020·新高考Ⅰ卷(僅供山東使用)·18)已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2+a4=20，a3=8.

(1)求{an}的通項公式；

(2)記bm為{an}在區間(0,m](m∈N*)中的項的個數，求數列{bm}的前100項和S100.

分析：第(1)問比較簡單，易得an=2n，下面來分析第(2)問.

該題很多學生的感受是“看不懂”，我們需要把學生引“退”到最原始能看懂的地方：

由于數列{an}為2,4,8,16,32,64,128,…，所以當m=1時，區間為(0,1]，顯然此區間中沒有{an}的項，即b1=0.這一步就是那個“最原始而不失重要的地方”，把這一步認清了，看透了，問題的真諦也就顯現出來了，再前進，思維就順暢了：

當2≤m≤3時，區間為(0,2]，(0,3]，b2=b3=1；

當4≤m≤7時，區間為(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，b4=b5=b6=b7=2；

當8≤m≤15時，區間為(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，b8=b9=…=b15=3；

當16≤m≤31時，區間為(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，b16=b17=…=b31=4；

當32≤m≤63時，區間為(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，b32=b33=…=b63=5；

當64≤m≤100時，區間為(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，b64=b65=…=b100=6；

所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b8+b9+…+b15)+(b16+b17+…+b31)+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.

事實上，該題與高中所學知識沒有多少聯系，就是純粹考查學生分析問題和解決問題的能力，像這樣的題目，教師一定要讓學生親自動手體驗這一完整的解題過程：

只有這樣，才能鍛煉學生的思維品質，才能使學生的核心素養品質得以升華.這樣的以退為進，就是先足夠地退到最容易看懂的地方，把最原始最基本的問題認清了，看透了，然后再一步步前進，直至認清整個問題的“廬山”真面目.正因為有了前面的“退”，才能更好地“進”.事實上，此題還可以進一步引導學生探究問題的一般情況：

當2k≤m≤2k+1-1(k∈N*)時，區間為(0,2k]，(0,2k+1]，…，(0,2k+1-1]，b2k=b2k+1=…=b2k+1-1=k，共有2k+1-1-2k+1=2k個k.至于求和，只需利用學生熟悉的錯位相減法就可以解決，本文不再贅述.對于這樣的復雜問題，只有退到退無可退，才能看清問題的真諦.