合理創設結構不良試題

樊榮

摘要：結構不良試題是新高考數學試卷中的一類創新開放題，其中以解三角形為背景的結構不良試題是最常見的結合實例，就解三角形問題中的結構不良試題的常見類型加以剖析，展示創新設置與開放思維，掌握破解技巧與解題策略，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：結構不良;解三角形;選擇;條件;探索;開放

結構不良試題是新高考數學2020年開始出現的一類開放性創新題型，創設沒有明確的結構或者解決途徑的“另類”數學試題，契合現實生活中的問題形式，具有很好的開放性與創新性.結構不良數學試題，條件或結論等存在變數，是否有解也不確定，變化多端，形式各樣.

而解三角形問題，比較吻合結構不良數學試題的基本特征，是考查此類題型的常見形式.通過解三角形知識的綜合、交匯與應用，結合選擇條件型與探索條件型這兩種比較常見類型來展示，具有很好的開放性與創新性，能有效考查學生分析問題、解決問題的能力，對理解能力、探究能力、創新能力與應用意識等的考查也是積極和深刻的.

1 選擇條件型結構不良試題

解三角形中的選擇條件型結構不良試題，屬于題干條件不充分或不完整，需要從已知給出的條件中選擇某些條件（一般是三個條件中，或選一或選二等）加以補充完整，進而在所選擇條件組成的題目背景下，正常解決相關的解三角形問題.只是不同的選擇可能選用的知識點與思想方法有差異而已.

例1（2022年江蘇省淮安市高中校協作體高三年級期中模擬考試數學試卷）在①b2+2ac=a2+c2，②acos B=bsin A，③sin B+cos B=2這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，??? ，A=π3，b=2.

（1）求角B;

（2）求△ABC的面積.

分析：（1）從已知三個條件中選取一個，若選①，由余弦定理即可得解;若選②，利用正弦定理將相應關系式中的邊化為角，可求得tan B的值，從而得解;若選③，結合輔助角公式的轉化與應用，從而得以求解;（2）由正弦定理求出a的值，由兩角和的正弦公式求出sin C，再利用三角形的面積公式即可求解.

解析：（1）若選①，由余弦定理，得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.

又B∈（0，π），則B=π4.

若選②，由acos B=bsin A，結合正弦定理知sin Acos B

=sin Bsin A.

又A∈（0，π），則sin A>0.所以cos B=sin B.

又B∈（0，π），則tan B=1，即B=π4.

若選③，由sin B+cos B=2，得2×sinB+π4=2，即sinB+π4=1.

又B∈（0，π），所以B+π4∈

π4，5π4.于是B+π4=π2，解得B=π4.

（2）由A=π3，b=2，B=π4，可得C=π-A-B=5π12.

結合正弦定理，可得a=bsin Asin B=3.

又sinC=sin5π12=sinπ4+

π6=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6= 6+ 24，

則△ABC的面積S△ABC=12absin C=12×3×2×6+24=3+34.

點評：此類解三角形問題中選擇條件型結構不良試題，可以從三角形的角、邊、關系式等不同情境構建相應的條件，從給出的多個條件（一般三個）中選一或選二，結合其他已知條件來分析與處理.不同的選擇，破解過程與對應的知識點有時可能不相同，結論有時也不盡相同.

2 探索條件型結構不良試題

解三角形中的探索條件型結構不良試題，屬于題干條件不充分或不完整，需要根據相應的一些條件來探索原題目中的某些條件，通過邏輯推理、代數運算等加以補充完整;或者通過補充一些相關的條件，結合運算與推理，并根據補充條件的題目進行合理探究與分析，形成相應的判斷或決策等.

例2在①2acos B=2c-b，②（sin A+sin B）＼5（a-b）+bsin C=csin C，③b2+c2-a2=233bc＼5sin（B+C）這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，若問題中的C存在，求C的值;若C不存在，請說明理由.

設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知??? ，是否存在角C，使得cosB+π3-

3sin C=-1？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

分析：結合已知可選的條件，選①時通過正弦定理、誘導公式以及兩角和的正弦公式等確定角A的值;選②時通過正弦定理、余弦定理等，確定角A的值;選③時通過誘導公式、余弦定理等確定角A的值.在角A確定后，利用三角函數關系式的變形以及輔助角公式的應用，結合條件確定三角函數關系式的最值問題，進而探究關系式是否成立.

解析：選①，問題中的C不存在.理由如下：

因為2acos B=2c-b，所以由正弦定理知2sin Acos B=2sin C-sin B.

又sin C=sin（A+B），得2sin Acos B=2sin（A+B）-sin B，

展開并整理得2cos Asin B=sin B.

而sin B>0，可得cos A=12.由0

從而3sin C-cosB+π3=3sin C-cos（π-C）=3sin C+cos C=2sinC+π6.

又易知C∈0，2π3，

則C+π6∈π6，5π6，得sinC+π6>12，

于是3sinC-cosB+π3=2sinC+π6>2×12=1.

故不存在C，使3sin C-cosB+π3=1.

選②，問題中的C不存在.理由如下：

因為（sin A+sin B）（a-b）+bsin C=csin C，所以由正弦定理知a2-b2+bc=c2.

再結合余弦定理，可得

cosA=b2+c2-a22bc=12.

由0

從而3sin C-cosB+π3=3sin C-cos（π-C）=3sin C+cos C=2sinC+π6.

又易知C∈0，2π3，則C+π6∈π6，5π6，所以可得sinC+π6>12，

于是3sin C-cosB+π3=2×sinC+π6>2×12=1.

故不存在C，使3sin C-cosB+π3=1.

選③，問題中的C不存在.理由如下：

因為sin A=sin（B+C），所以b2+c2-a2=233×bcsin（B+C）=233bcsin A，

整理可得b2+c2-a22bc=33×sin A.結合余弦定理，得cos A=33sin A，即tan A=3.

由0

從而可得3sin C-cosB+π3=3sin C-cos（π-C）=3sin C+cos C=2sinC+π6.

又C∈0，2π3，則C+π6∈π6，5π6，得sinC+π6>12，

于是3sin C-cosB+π3=2sinC+π6>1.

故不存在C，使3sin C-

cosB+π3=1.

點評：解三角形問題中探索條件型結構不良試題，根據題目條件的選擇并結合已知條件通過探究與判斷來確定一些相關結論的成立性與存在性.破解的關鍵在于合理化歸與轉化，巧妙借助逆向思維等，對條件與答案之間的相互關系進行合理探究與分析，進而得以判斷與決策.

涉及解三角形問題中結構不良試題的命制與創設，是對解三角形知識的進一步深入與拓展，也是知識與思維密切聯系與交匯的一個典范.通過解三角形，將三角函數、平面幾何、不等式等相關知識加以融合與交匯，同時滲透開放性思想與創新性思想，巧妙創設，創新應用，引導學生從數學知識的習得與記憶轉向問題的分析與解決、策略的選擇與應用，使數學應用、創新應用在思維層面得以真正地發酵、發生.