HPM視角下高中數學概念教學策略的探討

黎天萍

摘? 要：HPM是帶入數學史于課堂教學中，引導學生以歷史角度分析數學問題，追溯數學問題的歷史演變、問題結構與數學實際應用等方面的方法。這要求高中數學教師以這種方法進行課堂教學，帶領學生了解及探索數學知識的意義，幫助其擴展整個數學知識系統，并逐漸完善數學知識。可以說，教師從HPM視角展開高中數學概念教學策略，并堅持學生本位，針對概念構建知識系統，對于提升學生的辯證思維有很大的促進作用。對此，本文以HPM為切入點，將其融于高中數學的概念教學中，提出一些數學應用策略。

關鍵詞：HPM;高中數學;概念教學

一、HPM融合高中數學概念教學的意義

（一）何為HPM

HPM是指數學教育與數學史間的關系說明，其最早出現于20世紀70年代，是數學史和數學教學關系國際研究小組的英文縮寫。一般情況下，面向數學史和數學關系領域的研究當作HPM。HPM的研究目標即為借助于應用數學史，提升數學的教育水平。同樣的，HPM關注的領域則是多元化、多學科交叉、多方法認識的過程，發生數學法和數學史、學生困難和數學史、數學教學和數學的原始文本之間的關系等。很多數學教科書，僅僅是在教材上展現知識間的邏輯關系，并沒有深入展開數學概念、證明原理等內容的形成及其背后的文化背景。對此，創新教學方法，幫助學生從“史”的角度掌握基本概念，對進一步提升學生的數學概念應用有重要的作用。

（二）數學史與數學教學方法相結合的教學價值

第一，提供了直接的歷史信息，有利于開發數學的社會文化背景，并通過一定的教學手段使學生了解數學史維度下數學的應用方式。從“史”找到數學概念發生的根，即為發生教學法，同時其也常常作為HPM框架下的教學方法。如在課堂上展示趣味性的數學史故事;導入數學史片段，增強數學概念的關聯性;將數學史中的某一時間段作為課堂延伸的一部分，促使學生主動探究其生成結果等等。第二，因為數學史是架構高等數學和中學數學的一個紐帶。從這一點上可以看出，數學史應該是教師必備的知識能力之一，掌握“數學史是數學教學”指南的技能，進而才能更好地從數學概念的生成本質入手，讓學生在理解概念的基礎上學會應用數學，而不是一味地接受并僵化套用。可以說，將數學史帶入高中數學概念教學過程中，為數學課堂教學提供了新活力，利于學生理解和掌握數學概念，從而更好地應用概念于數學問題的解決中，融會貫通并遷移到其他學科學習中。

二、HPM視角下高中數學概念教學策略

（一）高中數學概念應用教學設計及反饋

創設概念教學情境，如教師以多媒體方式呈現礦泉水瓶隨處可見，這些水瓶的實際容量相同，設計尺寸也基本相似，這樣設計是否存在一定的規律？教師通過展示圖片引導學生繼續探究：在礦泉水瓶的設計理念中，一定要考慮到材料成本問題，也就是怎樣設計瓶身才能節省材料。我們了解到礦泉水瓶材料成本與其瓶身表面積有直接關系。對此能夠發現一個數學問題，暫且將礦泉水瓶外觀視為圓柱形，這樣便于分析問題和解決問題。“具有相同體積的圓柱體，其半徑和高度應取值多少，才能實現最小面積的目標？”除非是將水平剪開，分別計算各個面積，并進行加總，但是這一操作并不具有普遍性。對此，教師應該引入導數概念并對此類問題提出解決方案。

探究過程：接近圓柱形的礦泉水瓶的高度大約是半徑的四倍，與實際測量結果不同。這時教師應引導學生測量瓶身各個部分的厚度，可以借助易拉罐進行測量與計算。分析結果：應用HPM能夠簡化問題的解決過程，促使學生能夠理解概念，并能夠將其應用于生活實際問題的解決。常規解題思路難以解決這類問題，對此，將HPM方法與概念教學相結合，并創設問題情境，若學生在解決問題過程中發現了新的問題，可以引導學生利用瓶身半徑與高度之間比例關系問題，促使學生繼續思考，帶動其自主探究問題，并找到答案。學生掌握解決一個問題的方法，而不是直接獲取答案，在很大程度上提升了課堂教學質量，學生對問題的理解與概念應用也較好。當然，教師也應該注意到，教師應用HPM教學方法，應該分析問題探究難度是否適合HPM教學方法;學生認知特點和數學基礎;教學階段的特殊性，如高三授課則不適用這種教學方法。在高一、高二講授新課時，教師可適當地設計概念教學過程，促使學生在理解概念的基礎上，能夠在解決問題過程中靈活應用概念，并能夠理解深層次的概念。總之，對于高中抽象概念教學，教師應合理選擇HPM教學方法支持課堂探究活動，這一活動的設計理解主要傾向于利用HPM解題思想。

（二）“概念進化”的教學過程

針對高中教材棱柱概念的陳述“有兩個面相互平行，其他的面是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這些面所圍成的多面體即為棱柱”。高中這一概念與初中相關概念相比，其概念抽象程度更高，文字表述簡潔但是難于直接理解和應用，如果理解偏差，則會出現概念應用的錯誤。教師PPT展示如下幾個命題：

第一個命題：有兩個面相互平行，其余面均為等腰梯形的多面體是棱臺;

第二個命題：以直角梯形作為腰的所在直線，經過旋轉得到旋轉體是圓臺;

第三個命題：其中一個面是多邊形，其他的面是三角形的幾何體是棱錐。

以上幾個命題，其中是正確命題的數量有幾個？

教師帶領學生從概念角度對這一問題進行分析：按照多面體定義對上述命題進行判斷，可采用概念判斷法或舉反例方式加以判斷第一個、第二個、第三個均不是。

反思過程：否定之后，教師應該讓學生嘗試說出否定的原因，此時學生難以找到錯誤的細微之處。教師可以通過數學史的小案例，如歷史上的數學家也出現過同樣的判斷錯誤，因此……

回歸到概念教學本身：數學史中的數學家對棱柱定義提出了不同的想法，也犯過類似的錯誤，并指出他們的錯誤出處。概念教學中，教師提出這種例子，使學生了解到概念理解或應用錯誤的原因，進而避免下次繼續犯錯。同樣的，教師也可列舉數學史專著，從概念的歷史發展脈絡角度，帶領學生梳理概念間的關系及差別，從“史”的角度理解多面體、多邊形等概念，并進行對比分析。

三、結語

總而言之，HPM并不是一種教學形式，而是一種利于數學概念教學的一種“史”學教學理念。對此，教師切不可將概念生成的“歷史”進行簡單地梳理，要結合概念本質及應用問題構建概念間的橫縱向聯系，促使學生在活動式教學中了解概念的生成過程，理解并學會應用，這樣才能更進一步應用數學概念。對此，數學史與高中數學概念教學相融合，不僅僅是“史”的介紹，而且也要引導學生對數學史知識進行再創造。

（責任編輯：向志莉）

參考文獻：

[1]蘇永強. “生態課堂”視角下的高中數學概念課的教學思考[J]. 數學教學通訊，2021（21）：21-23.

[2]朱豐勝. HPM視角下的初中數學教學探索——以“有理數乘方”一課的教學為例[J]. 中學數學，2021（14）：28-29.

[3]沈利芳，吳凱. HPM視角下數學史料在高中數學概念教學中的運用——以阿波羅尼斯圓為例[J]. 新課程評論，2021（04）：76-84.

[4]王曉蓮. 論核心素養視角下高中數學概念教學途徑[A]∥2020年“基于核心素養的課堂教學改革”研討會論文集[C]. 教育部基礎教育課程改革研究中心，2020：2.