探究方根本質 尋求問題解答

蔣飛

摘要：求平方根與立方根是最簡單的開方運算，是實數運算的基礎，也是學好后續內容（如二次根式、一元二次方程、勾股定理）的必備知識.在教師眼里，它內容單薄，不是教學的重點．但對于剛剛接觸方根的初一學生來說，卻是學習的難點，不易突破.其實，學好方根最為關鍵的環節是透徹理解方根的概念，將容易混淆的概念進行對比聯系，反復練習．結合平方根、立方根有關典型問題的分類解析，培養學生的符號意識、抽象能力、運算能力、數據觀念及應用意識等核心素養．

關鍵詞：方根意義；分類解析；核心素養

1 用定義求方根

例1填空：5的平方根是；9的算術平方根是；3－27的立方根是．

分析：由平方根的定義知道正數的平方根是一對相反數，它們的平方等于被開方數，其中正的平方根是它的算術平方根；負數沒有平方根，也不存在算術平方根；任何一個數都有立方根，其符號與原數的符號相同．

解：因為±52=5，所以5的平方根是±5；

因為9＝3，而3的算術平方根是3，所以9的算術平方根是3；

因為3－27=－3，又－3的立方根是－33，因此3－27的立方根是－33 ．

點評：正確理解平方根、立方根、算術平方根的定義是解題的基礎，依據乘方與開方互為逆運算是解題的重要策略．

2 用方根定義解方程

例2解下列方程：

（1）5x－32=2014； （2）2x－13=686 ．

分析：把5x－32，x－13均看成an的形式，再根據乘方與開方互為逆運算求解．

解：（1）因為±922=814，所以5x－3=±92.則5x=3±92，即x=153±92，進一步解得x=32或x=－310.

（2）原方程可化為x－13=343.因為73=343，所以x－1=7，即x=8 ．

點評：解此類方程的實質還是求一個數的方根的運算，其解題過程是由繁到簡的轉化過程，即逐步化為xn=a的形式．

3 用方根性質求值

例3已知3x+2和2x－12是m的平方根，求m的值．

分析：一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數.互為相反數的兩個數的和為0 ．

解：根據題意，分兩種情況.

（1）因為3x+2和2x－12都是m的平方根，所以

（3x+2）與（2x－12）互為相反數.

所以（3x+2）+ （2x－12）＝0.

解得x=2，并代入m=3x+22中，得m=64；

（2）當3x+2＝2x－12時， x=－14，此時

m=3x+22=－402=1 600 ．

綜上可得m的值為64或1 600 ．

點評：習慣上我們意識到一個正數有兩個不同的平方根，但此處用代數式表示的兩個數并非一定不相等，此處容易忽略3x+2與2x－12相等的情形．

4 用方根估算實數的大小

例4（1）估算8－40在哪兩個自然數之間；

（2）比較－2+12與－3+12的大??；

（3）表示311的整數部分和小數部分．

分析：第（1）問中要估算8－40的大小，只需確定40在哪兩個自然數之間；第（2）問中，只需比較分子的大??；第（3）問中，需將311把寫成99的形式，再來估算解答.

解：（1）由36<40<49，即6<40<7，可得－7<－40<－6，所以1<8－40<2，即8－40在自然數1與2之間.

（2）因為2<3， 即2+1<3+1， 所以可得－2+12>－3+12.

（3）因為311=99，且81<99<100，所以9<311<10.因此311的整數部分為9，小數部分為311－9 ．

點評：估計一個數的算術平方根的大小時，應確定與這個數相鄰的兩個整數； 比較兩個實數的大小時，先要統一標準，再比較大?。?/p>

5 用被開方數與結果的變化規律求值

例5（1）已知5.03=2.243，若x2=2 012，則x的值為；

（2）設2=a，3=b，用含a，b的式子表示0.54為．

分析：算術平方根與被開方數的變化規律，即被開方數的小數點每向右（或左）移動兩位，則它的算術平方根的小數點相應地向右（或左）移動一位 ．

解：（1）因為5.03=2.243，所以503=22.43.而2 012=4×503，因此2 012=4×503=2503=2×22.43=44.86.

又±44.862=2 012， 所以x=±44.86.

（2）因為0.54=1100×54=1100×9×2×3，因此0.54=3102×3=3102×3=310ab．

點評：化簡時，對于算術平方根中含有完全平方數的因數，可以移到根號外；移出時，去掉冪指數，即a2b=aba>0，b>0．

6 利用a的雙重非負性解題

例6若a，b滿足3a+5b=7 ，則S=2a－3b的取值范圍是.

分析：由算術平方根的定義可得到算術平方根的非負性，即a≥0a≥0．解決此題把S視為一個常數，利用二元一次方程組的知識可求出a，b，再用非負數的知識求出S的范圍．

解：記3a+5b=7，①

2a－3b=S.②

①×3+②×5，得19a=21+5S ，則21+5S≥0，解得S≥－215；

①×2-②×3，得19b=14－3S，則14－3S≥0，解得S≤143．

綜上，可得－215≤S≤143．

點評：利用算術平方根的雙重非負性，往往是挖掘題目隱含條件和進行求解的常用方法．這類問題有一定的綜合性和難度，特別對于初學“實數”的學生來說要細心體會，從本質上把握．

7 練習設計

（1）已知x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根；

（2）已知一個正數x的平方根分別為a+1和a－3，求x；

（3）解方程8x－13=27;

（4）已知實數a滿足2011－a+a－2012=a，求a－20112的值；

答案提示：（1）x2+y2的平方根是±10；

（2）a=1， x=4；

（3）x=52；

（4）因為a≥2012，去絕對值得（a－2011）+a－2012=a，進一步化簡求得a-2 0112＝2012．

例題教學要重視問題的變式，設計好問題之間的關聯，如本文中的幾個問題，在牢固掌握方根的概念及本質的前提下，由易到難，通過有層次有梯度的問題串聯，進行概念的對比鑒別與運用，培養學生的符號意識、抽象能力、運算能力、數據觀念以及應用意識等核心素養．