借助初中數學易錯題進行“數學建模”的策略探析

林惜虹

摘? 要：數學建模會提高數學學習興趣，促進獨立思考，在實踐中總結規律，了解解題的通性通法。解題過程中主動建模會通過做的方式來了解解題思路和計算方法，在探究中主動進行邏輯推理和分析判斷，建構空間思維，學會數據處理。易錯題是容易出錯的試題，通過對易錯題進行數學建模會更好地發現問題，掌握解題技巧。本文主要探究了借助初中數學易錯題進行數學建模，提高解題能力的策略。

關鍵詞：初中數學;易錯題;數學建模

數學建模的關鍵是將現實問題轉化成經典模型，通過對數據的加工簡化問題。數學中的函數、方程、統計概率以及不等式中都有很多知識，也存在一定的規律，通過數學建模會提煉出數學模型，了解知識規律，更快速而準確地解決問題。在解決數學問題過程中要主動從易錯題中總結出錯的原因和思路，尋找規律會強化建模意識，了解各種數量關系，快速解決問題。數學建模是一種思維的挑戰，通過建模學生會更好地理解題目中的條件，分析隱含信息，深化理解和鞏固知識，有意識地避免易錯題中的“陷阱”。

一、易錯題出錯原因建模

（一）概念模糊影響

數學概念是進行數學推理、證明和運算的理論基礎，如果能夠清楚地掌握數學概念，在解題過程中就會得心應手。但是很多情況下，數學概念是解題的根本保證，只有正確地理解了概念才能夠確保正確解題。但是很多情況下，學生在解題過程中容易出現概念模糊的現象，影響解題。

以下題為例，下列說法中正確的是（? ? ）

A. 0不是有理數

B. 有理數不是整數就是分數

C. 在有理數中有最小的數

D. 若-a是有理數，則-a一定是負數

解題過程中，需要清楚地了解有理數、負數以及整數的概念和分類，因為它們所指的數的范圍并不是一樣的，最重要的就要看包不包括0。由于概念的模糊和不清楚，這道題很容易會選擇D，但是重新思考，會認識到0也是滿足D這個選項的，所以正確答案應該是B。為了避免這樣的錯誤，需要主動梳理概念，了解每一個數學概念的指代和范圍，建立概念標準，確保非正確答題。

（二）思維定式影響

思維定式就是采用同樣的方法解決了很多的數學某一類型的問題，在面對類似問題后就會采用相同的方法和策略。這是一種習慣性思維，它只關注了事物的表面特征，忽視了問題的本質，容易出現解題錯誤。例如在解答等腰三角形的問題時，如果頂角度數是50°，那么等腰三角形底角的度數是多少？解題過程中，根據三角形內角和為180°，很容易計算出每一個底角的度數為65°。類似的題目都應該使用（180°-50°）÷2，這是解決這樣問題的常用方法。面對這樣的問題，如果稍微修改一下題目中的信息：等腰三角形的一個角為50°，則其他角的度數為多少？在解決這個問題時，會受到思維定式的影響，采用上述方法，得到65°。但是這是一種考慮不周到的表現，因為題目中說的是等腰三角形的一個角是50°，并沒有說是底角還是頂角，在解決問題時就需要進行分類討論，會得到兩個不同的答案。思維定式影響了解題思考的方向，容易出現錯誤，在解題過程中一定要避免這樣的問題。

（三）忽視條件影響

在解題過程中審題不認真，會漏掉題目中的已知信息或條件，導致答題錯誤。解題中有些條件是明顯的，但是有些條件是隱含的，很容易被忽視，遺漏隱含條件。這主要是知識掌握不牢固或者是思考深度不夠造成的，需要在解題過程中進一步挖掘信息，進行深度思考，從題目中發現隱含條件，主動加工。例如解一元二次方程和二次函數相關的題目時，就包含著二次項系數不為零的隱含條件，根的判別式需要大于等于零。這是一個隱含條件，在題目中往往沒有直接表達，只要是這一類問題，都需要考慮到的一個根本原則。但是由于對知識掌握得不牢固，分析問題不全面，很多時候會在解題過程中忽略這個問題。例如若y=（a+1）x^∣a∣+1是關于x的二次函數，則a的值是多少？解決這個問題就需要考慮二次項系數不為零的隱含條件，不然就會得到a值為±1，而正確的答案a值為1。很多學生會解答錯誤，就是因為沒有發現這個隱含條件，忽視了關鍵信息。

（四）以偏概全影響

解決數學問題時容易忽視條件，以偏概全，不能把所有的信息和數據都解答出來。很多數學試題需要全面考慮，關注已知信息和要點，才能夠順利解決問題。但是由于考慮不全面，很多時候會在解出一個答案后就停止思考，這是一種考慮問題不全面，以偏概全的現象。例如在關于絕對值的問題：已知關于x的方程mx+2=2（m-x）的解滿足∣x-1/2∣-1=0，則m的值是多少？解答問題過程中，很容易在去掉絕對值時忽略x-1/2等于-1的情況，從而得到的解為一個。通過全面考慮問題后，會解出x的值有兩個一個是-1/2，一個是3/2，進而解得的m的值也有兩個。在解決問題時，需要全面考慮問題，不能只考慮一種情況，這是有關絕對值問題經常會出現的錯誤。了解了這些經常出錯的地方，在解決問題過程中就會提高針對性，有意識地全面考慮問題，提高解題能力，建立模型意識。

二、易錯題解題策略建模

（一）統計易錯題型，科學總結易錯點

在探究數學問題時，積極總結容易出錯的易錯題會使思路變得更加清晰，使探索的知識點更加明確，了解出錯的原因和方向，以便在解題過程中主動地調整，發現規律，總結方法，降低出錯率。在解題過程中，面對數與式的問題要注意有理數、無理數以及實數的概念，思考相反數、倒數、絕對值的概念。要明確分式值為零時學生容易忽略分母不能為零，分清平方根、算術平方根、立方根的區別。在函數問題中需要注意各個待定系數表示的意義，利用圖象求不等式的解集和方程組的解，利用圖像性質確定增減性以及函數圖象的分類和求解方法。

在數學解題過程中要通過總結歸納的方式主動建構解題框架和數學模型，了解這一類試題的解題方法和技巧，心中搭建出解題模型，面對問題時快速解答。

例如試題：對于一次函數y=x+2，下列說法不正確的是（? ? ）

A. 圖像經過點（1，3）

B. 圖像與x軸交予點（-2，0）

C. 圖像不經過第四象限

D. 當x>2時，y<2

在對問題的分析中，需要考慮到本題考查的一次函數的圖像以及一次函數的性質，在探究過程中需要通過逐條分析的方式來思考表達的是否正確。在平時的建模過程中要對基礎概念和基本定理有清楚認識，了解這些基礎性知識，并靈活掌握概念和定理的適用條件，以便在解題過程中準確應用，發現隱含信息。

（二）分類討論方法，降低解題錯誤率

分類討論是解決數學問題的一種行之有效的方法，因為數學知識具有很強的嚴密性和邏輯性，需要學生通過謹慎推理的方式來討論，要做到具體問題具體分析。通過全面地討論問題，學生會在探究中更好地看到知識要點和難點，把握解題的關鍵點。例如有關二次函數的綜合問題：在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）：

（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式

（2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標。

通過分析會認識到在解決第一問時根據拋物線與x軸的兩個交點已知，因此拋物線的解析式可以設成交點式，然后把B的坐標帶入，就可以接觸拋物線的解析式。在解決第二問時，需要采用分類討論的方式來解答，因為以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則思辨性的面積也就最大。在解題過程中需要求出另一個最大三角形面積的表達式，并且利用二次函數的性質確定最值。在分類討論時需要關注0

（三）轉化歸思想，形成建模突破點

在建模過程中，要主動地分析和總結不同的試題類型和試題考查要點，很多試題在解題過程中都滲透著數學思想和數學方法，需要通過不斷總結的方式建立思維模式，掌握解題方法。在轉化過程中需要借助已知的、熟悉的知識來解決未知的、陌生的知識，并且把抽象的知識向著具體、直觀的方向轉化，把復雜的問題轉化為簡單的問題，實現用簡單易懂的方式來快速解決問題，建立解題模型和基本思路。

在具體的解題過程中要善于發現各個數據和條件之間的關系，尋找可以相關轉化的條件和數量，在轉化過程中解決實際問題。

例如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交予點O，連接OC，已知AC=5，OC=6 ，則另一直角邊BC的長為多少？在對已知條件的分析和探究中會看到本題的利用到正方形的性質，全等三角形的判定性質以及等腰直角三角形。在解題過程中需要運用轉化及等量代換的思想，根據題目中的已知條件作相應的輔助線。

在解決問題過程中，可以過O作OF垂直于BC，通過做輔助線會建立各種數量關系，方便尋找有效的解題思路。再過A作AM垂直于OF，兩條輔助線會把隱含的數據和信息聯系起來，使解題思路更加清晰。

通過題目中的已知四邊形ABDE為正方形，可以得到關鍵數據OA=OB，∠AOB為直角。同時題目中給出的已知條件AM垂直于MO，得到△AOM為直角三角形，可以進一步得出兩個銳角互余，通過等量轉化和替代可以得到同角的余角相等，在轉化中會明確各種數量關系，找到對應的數據，快速進行替代，明確具體的數值，提高解題效率。

（四）利用數形結合，提高知識形象性

在數學建模過程中，數形結合的解題模型是最為直觀形象的。它把抽象的數據轉化為具體的圖形，給人一種直觀的印象。很多代數問題和三角問題都需要借助圖形的幫助來快速解決，它會將思維立體化，形象化，借助結合特征去解決代數問題。

例如圖2，已知拋物線l₁：y=x²-6x+5與x軸分別交予A、B兩點，頂點為M。將拋物線l₁沿x軸反折后再向左平移得到拋物線l₂，若拋物線l₂過點B，與x軸的另一個交點為G，頂點為N，則四邊形AMCN的面積為多少？分析中會看到本題考查的是二次函數綜合體，需要用到軸對稱性質。在解題過程中根據拋物線l1的解析式可以求出AB的長，根據對稱性可以得到BC=AB，利用拋物線的頂點坐標，可以計算三角形面積進而求出四邊形面積。

在具體的解題過程中需要用到數形結合會更好地理解各種數量關系，并且了解函數圖象交點的求法，達到事半功倍的效果。

三、結語

總之，建立數學模型，會更好地理解題目中的已知信息，把握各種數量關系，了解解決問題的方法，掌握一般規律。當建立了數學模型，就會有效地避免解題過程中容易出現的錯誤，朝著正確的方向思考，探究正確的解題策略，快速準確地解決問題，實現對問題的快速解答，提高數學解題能力。

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（責任編輯：胡甜甜）