基于學習進階的幾何基本概念教學設計
——以“垂直”教學為例

劉 佳 朱 輝

(江蘇省南京外國語學校河西初級中學 210000)

自2017年國家教育部文件實行均衡編班制度以來，如何讓不同學思維層次都能得到不同層次的提高，是教學工作需要關注的焦點.而早在2015年筆者所在學年數學組就從作業的角度切入，并對作業進行優化設計.但是研究的過程中發現，錯題的產生除了學生粗心的學習習慣問題之外，還有思維層次原因，僅從作業角度實現增效減負是不夠的.如何從教學中尋找適當的抓手成為一個研究的方向呢 ？

實際教學中，經驗豐富的教師往往使用幾何模型作為輔助，幫助學生提高答題的能力，看似提高了學生的成績，但是死記硬背模式是數學思維培養的大忌.在教學中，如何基于課程標準將教科書中一個個知識點的外顯，點動成線成為學生思維螺旋式上升的一個推手，是我們在教學中亟需攻克的難關.學習進階理論是指學生通過較長時間跨度，學習某一概念核心概念所遵循的連貫、逐步深入的學習路徑.該理論源于2004年美國基礎教育階段科學學業成就評價委員會的倡導，我國2017年《普通高中數學課程標準2017年版》中在關于學科標準中強調“進一步精選學科內容，重視以以學科大概念為核心，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科素養的落實.《義務教育階段課程標準2011年版》中也強調課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系.

本文以學習進階理論為研究基礎，嘗試突破以數學模型為主導的幾何教學，真正從概念教學本源入手，對幾何教學核心概念進行連貫、逐步精致的進階路徑剖析，使學生的核心素養伴隨概念教學本身實現數學思維的進階.

1 幾何基本概念的課例設計和進階分析

1.1 課例設計和進階分析

環節一：教師先讓學生欣賞含有平行和垂直的圖片，讓學生回顧平面內直線與直線的位置關系，接著讓學生在紙上任意畫兩條直線并說出它們的位置關系，然后讓學生舉出生活中兩直線垂直的例子，教師對照學畫出的圖形進行點評，初步感知為垂直教學做鋪墊.教師進一步讓學生比較各自畫出圖形，如有學生畫出的是線段、直線、射線的垂直的區別和聯系(交點個數、數量關系)，通過讓學生思考怎么把線段、射線變成直線，怎樣把兩者關系變成建立直線之間的聯系，本環節用時10分鐘左右.

環節一的學習進階分析作為初中幾何平面圖形認識(一)的入門課，本課有兩個根本任務：一是做好小升初銜接，在小學學習平行和垂直的基礎上逐步由直觀轉向數量關系和位置關系的推理；二是激發學生興趣，通過簡明、形象、有序的教學活動引導學生合情推理，滲透幾何研究的基本技能與基本方法.

圖1

環節一的學習進階設計：垂直概念需凸顯邏輯

雖然通過畫圖回顧了之前兩直線的位置關系，但是不能忽視與小學概念的聯系和區別，小學中對于教材對概念的定義分別如下：垂直是指兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直并未指出四個角或者一個角，而初中先研究線段、射線、直線、角等，對于四個角為直角到一個角為直角涉及到對頂角、補角、余角，用直線和角來定義垂直具有很強的邏輯性，該邏輯的體現需要進一步凸顯.

環節二：操作發現，讓學生考慮兩條直線相交所成的四個角成直角，思考是否需要四個角是直角，到四個角中有一個角是直角可以判定兩條直線的垂直是定義.在此基礎上引導學生用數學語言、符號語言、圖形語言表示等.本環節用時10分鐘左右.

環節二學習進階分析：學習進階從階梯的表面是概念的進階，同樣對能力也是提出內在的要求.在教學中概念教學需要關注四個進階層次，分別為

進階一:抽象進階二:符號進階三:說理進階四:強化具體材料表征,通過對現實原型和樣例抽象出共同的屬性以獲得新概念,即從具體到抽象的過程.數學符號表征,通過語言建立邏輯實現有條理的表達,重視圖形語言、符號語言、文字語言等幾種語言的互相轉化.說理和推理,引導對因果關系形式化“三段論證”的說理,培養有條理的思考和表達.概念強化,通過給出一些新概念的正例和反例,讓學生通過進一步辨認去實現對新概念的理解.如作出線段、射線的垂線,將模糊的內部言語進行概念同化,思維言語的交互.

環節二學習進階建議：垂直概念需凸顯語言

課例中對于點在直線上、點在直線外可以依據平行中基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行進行類比，用數學的語言表達世界，在這種邏輯推理下，才能對基本事實更深刻的理解.因為學生對垂直的理解從線段、射線、直線的理解仍局限于直觀視覺.

環節三：如何畫出一條線的垂線？你用了什么工具？(對于過一點做出已知直線的垂線，向學生滲透分類的思想，在畫圖時用延長體現直線之間關系，使學生理解結論的合理性.用填空、畫圖、說明等方法讓學生進行大量訓練.本環節用時15分鐘.

環節四：課堂小結.回顧怎樣按照分類討論以及數學語言、符號語言、文字語言的過渡.本環節用時5分鐘.

2 幾何概念教學的反思

數學概念是對一類事物空間形式和數量關系的本質屬性進行定性或定量的分析，包括數學的定義、公式、定理等.數學概念教學指在課堂環境中，為促進師生共同發展一種關于數學概念知識意義構建的互動過程，包括教師與學生的簡單陳述、解釋以及推理過程.義務教育初中學段(7年級-9年級)數學概念課從內容上看，占到了初中總課時數的五分之四；從能力要求上看，涉及了初中學段學生應該具備的所有數學能力.同時大量數據表明，學生數學成績的差異，很大一部分是由于對數學概念理解的差異造成的.所以，概念課的教學是初中數學學習最為重要的組成部分，是發展學生數學關鍵能力的主要環節.

2.1 課例特點

特點1：上課教師對于講授與學生自主學習之間的關系處理教好，引導在學生獨立思考探索的基礎上，學生的基本數學知識和基本技能掌握扎實.從學生的上課情況看，大多數學生理解了“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的基本事實，會用符號表示.

特點2：教師努力創設情境，為操作活動探索垂線的性質建立與生活的聯系，通過直觀觀察圖形和操作，幫助學生從位置關系過渡到用數量關系來刻畫，進一步通過四個角是直角突出角之間聯系，找到一個角是直角的本質，幫助學生建立位置關系與數量關系的轉化.

特點3：通過有梯度的訓練幫助學生內化直線垂直的圖形語言、符號語言、文字語言三者之間的過渡和轉化，利用點在直線上、點在直線外分類討論，為學生掌握概念、理解性質、懂得畫法、逐步掌握正確的學習方法提供范例.

2.2 幾何教學關鍵

鐘啟泉先生曾提到學生學習力的“冰山模型”，冰山只有浮在海面的“冰山一角”和隱藏在海面以下的“冰山基座”，浮在水面上的可見部分就是數學的基本知識、基本技能，隱藏于水面以下的不可見部分則是基本能力和基本態度，它是支撐浮出水面部分的基礎.

在解題中，過度重視技巧，對概念的掌握經常一筆而過是不合適的，其實在波利亞的《怎樣解題》一書中，提出了解題的四個步驟，一為弄清問題，二為擬定計劃，三為實施計劃，最后回顧反思.在教學中，可以將以上四個步驟進一步細化，從操作層面上看，弄清問題則可以以翻譯為主，從識別題干的語言到將文字語言，圖形語言，符號語言三者互譯，即三者語言關聯.擬定計劃時需要回憶概念，運用課本的概念，定理，找到概念的連接點，以激活關聯.實施計劃是最關鍵的，重組或是排除干擾的過程中還需要堅持自我分析，多嘗試，回顧反思中需要一檢二歸，檢驗特殊，歸納總結方法，具體循環如圖所示.

圖2

在教學中，利用概念同化方式獲得概念，即用演繹的方式獲得新的概念，學生往往不是零基礎的，但是進一步抽象獲得新概念，通常通過分類讓學生從不同角度理解概念，并且通過概念外延進一步理解概念，如何將所學習概念納入已有的認知結構中去，形成概念系統，使學生經歷一次新的概念的概括過程，明晰概念的邏輯關系，深化概念的理解是需要教師充分利用先行組織者，讓學生的直接經驗和間接經驗產生聯系，形成學生知識體系內部的概念系統.