分而用之 觸類旁通
——分類討論思想在初中數學教學中的滲透

周書娜

(江蘇省南京市竹山中學湖東路校區 211100)

數學課程標準把數學思想教學作為課程目標之一.筆者在多年的教學實踐表明:有很多學生由于沒有掌握正確的數學思想，導致學習數學老是不能進步，上升空間有限，這也說明他們沒有深入認識到數學思想是數學思維的核心.一味地做題、刷題達不到預期的效果.有時我們作為教師在教學時也會只關注知識的結果，忽視知識的形成過程中所存在的數學思想，導致學生的數學思想得不到培養，考試遇到靈活性和比較難的問題就不知道怎么做.特別是解決與分類討論有關的問題時，出現不知道分類、不會分類、分類不全面等問題.而分類討論思想在初中階段運用范圍比較廣泛，可見在初中數學教學中要重視分類討論思想.

什么是分類討論思想? 一般情況下，如果題目所給的條件無法確定，無法用統一的方法進行解答，需要將這個問題分成幾種情況，每種情況逐一研究解決，最后將各種情況下的解進行歸納整合.針對分類討論思想在數學教學的思考，我將從以下幾個方面進行闡述：

1 初中數學分類討論思想運用步驟與基礎

1.1 分類討論運用步驟

數學教學中運用分類討論，首先需結合題目要求，對問題進行細化分析，有效確定討論目標，然后再根據研究目標實施討論，最后歸納總結得到結論.初中數學教學中運用分類討論思想，可結合對應步驟實施教學.在運用中每次的分類都要依據一定衡量標準進行分類，讓學生在使用分類思想的時候不遺漏，不重復.因此為了保證分類討論思想的全面性與系統性，需依照一定研究目標實施教學，進行綜合性討論.

1.2 運用分類討論思想的基礎

初中數學分類教學在具體實施的時候，對于一些問題不能進行統一研究時，就要以一定標準實施分類討論.此過程中學生要明確討論對象與范圍，確定分類的標準.分類討論思想不是所有問題都適用的，因此學生要知道哪些題目解決的時候需要運用分類討論.例如，等腰三角形已知一個角求另外兩個角，或者已知一條邊求另外兩條邊，看到這種類型的題目就要立刻想到分類討論.

2 不同教學環節滲透分類討論思想策略

2.1 在新授課中滲透分類討論思想

在初中數學教材中，有很多知識的探索需要用到分類討論思想.教師上課的時候緊扣教材就能很好地滲透分類討論思想.

例如：七年級上冊第2章有理數，這章有很多分類討論的內容.首先是有理數的概念這節課，要求會按照不同的標準對有理數進行分類.其次從正數、負數、零三個角度研究絕對值.然后是從同號、異號、零這三個方面研究有理數加法法則、乘法法則.最后是從正數和負數兩方面研究有理數的乘方.第3章代數式中比較兩個代數式大小時，也會用到分類討論的思想.第5章走進圖形世界，需要學生按照一定的標準將圖形進行分類.第6章平面圖形的認識(一)，學習平行線這節課時，在引入兩條直線位置關系的時候也會用到分類的思想.又如八年級第一學期的幾何教學，第2章這一章節，課堂上在研究線段垂直平分線性質定理和判定定理時，需要將點與線段的位置進行分類.證明有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形時，需要將60度的角進行分類.特別是等腰三角形的練習題中也有很多需要分類討論的，該章節分類討論出現的較為多，學習這一章節時，教師要好好利用教材重點強化學生分類討論意識.

其實，每個年級的教學內容都會涉及到分類討論，教師需要充分地研究教材、把握教材，在探討知識的過程中無形地滲透分類討論的思想，讓學生有分類討論的意識.

2.2 通過解題滲透分類討論思想

在講授新課知識過程中向學生滲透分類討論的思想是一個比較漫長的過程，對于初中剛入學的學生是個比較好的方法.對于高年級的學生，為了讓學生能更好地掌握分類討論，可以設置相關專題，讓學生學會從哪些方面去分類，怎樣分類不遺漏、不重復，強化學生的分類討論意識.選取的題目要有價值，不是盲目性地選題.可以從以下幾個方面來選題：窗體頂端在講授新課知識過程中向學生滲透分類討論的思想是一個比較漫長的過程，對于初中剛入學的學生是個比較好的方法.而對于初三學生，為了讓學生能更好地掌握分類討論，可以設置相關專題，讓學生學會從哪些方面去分類，怎樣分類不遺漏、不重復，通過鞏固練習來強化學生的分類討論意識.

例1關于x的方程(k-2)x2-2kx+k=6有實數根，求k的取值范圍.

分析：本道題是由概念引起的分類討論.從方程的概念進行分類，這個方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程.

解(1)若k-2=0，即k=2時,-4x+2=6是一元一次方程，有實數根.

(2)若k-2≠0，即k≠2時 (k-2)x2-2kx+k-6=0是一元二次方程a=k-2，b=-2k，c=k-6

因為一元二次方程有實數根,所以b2-4ac≥0,4k2-4(k-2)(k-6)≥0

k≥6

綜上所述，k≥6或k=2.

(1)若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍；

(2)若拋物線經過點(2k,y1)和點(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范圍；

分析本題(1)、(2)兩小問不需要用到分類討論，比較基礎，只要計算時細心一點就沒什么問題.而第(3)小問，由于函數表達式里系數含有字母，導致對稱軸的位置不能確定，于是在給定范圍內，看不出函數的增減性，無法求出最小值，因此需要對對稱軸的位置進行分類討論.可是學生由于缺少分類討論的意識，大部分學生第(3)小問留白，少部分沒有分類討論，直接求了在頂點處有最小值，得分率比較低.

①若k<1，當1≤x≤2時，y隨x的增大而增大

解得k=1

③若k>2，當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小

綜上所述，k=1或k=3.

以上二道例題就是需要用到分類討論思想的題型：由概念、公式、法則引起的分類，由含有字母系數引起的分類，由不確定的圖形或位置引起的分類.在解題過程中，我發現學生會出現無從入手或者答案不全面，錯誤率比較高，其實這和學生缺失分類討論思想有關.

3 分類討論思想滲透的注意事項

3.1 低起點滲透分類思想

很多數學知識的產生都伴隨數學思想，但是經過對初中生分類討論思想的理解與運用情況進行調查，發現其問題多集中在“難”上，很多學生無從下手，不知道怎么分類.另外教師的教學也存在一些困惑，數學分類思想比較抽象，學生較難理解.實際上數學教學中基礎知識的教學也滲透了數學思想，但因為學生輕松理解，所以忽視了其中滲透的分類討論思想.在此要降低起點，發揮基礎知識載體性，科學滲透數學思想，幫助學生理解.

3.2 注重信息技術的運用

信息技術為數學教學增添趣味性，分類討論思想的運用雖然出現，但是必要的時候運用信息技術手段，可讓教師在數學思想的滲透教學中起到事半功倍的效果.幾何畫板作為專業性強的數學教學軟件，在其動態展示的時候可呈現數學的本質，進而滲透分類討論思想.如研究圓周角與圓心位置關系的時候，學生憑空想象比較困難，借助幾何畫板的動態演示，讓學生既能快速地發現圓周角與圓心的3種位置關系，也能讓學生體會到分類討論的思想.

總之，分類討論的思想對于學生學好數學是有價值的.“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”，想短暫時間就能形成和培養分類討論思想，這顯然不現實，需要教師在課堂教學中經過長期地、反復地滲透和訓練.