旋轉思想在初中數學解題中的妙用

趙令歲

(福建省永泰一中旗山校區 350700)

在新時期教育背景下，初中數學教材內容的編排越來越注重同現實生活相接，課本中增添有圖形變換的內容，包括旋轉、翻折與平移等，其中旋轉思想在幾何解題中有著廣泛的運用，也是近年來中考中經常出現的一個熱點.在初中數學解題教學中，教師應指導學生根據題目實際情況巧妙運用旋轉思想，降低試題的難題，使他們快速找到突破口，最終順利解題.

1 利用圖形旋轉思想巧妙構圖

在初中數學解題教學中，當運用旋轉思想處理問題時，教師通常需從問題的結論與條件切入，引領學生從題干中提供的圖形分析，分析題目的設計意圖，在結合旋轉變化過程中圖形性狀不發生改變的性質以及旋轉角度發生變化的性質巧妙構圖，讓學生認真觀察和分析圖像的旋轉變化確定解題思路，達到解答問題的目的.這樣學生能夠親身經歷圖形旋轉的過程，使他們通過解題訓練進一步掌握圖形旋轉的性質，并深化對旋轉思想的理解與應用.

例1如圖1所示，四邊形ABCD是一個正方形，三角形ADE經順時針旋轉后同三角形ABF重合，求(1)旋轉中心是哪一點？三角形ADE旋轉多少度？(3)假如把EF連接起來，那么三角形AEF是一個什么樣的三角形？

圖1

解析對于第(1)、(2)小題，學生通過觀察能夠直接得出答案，即為旋轉中心是點A，三角形ADE旋轉90°同三角形ABF重合；而對于第(3)小題，教師可先組織學生在小組內合作討論與探究，結合已經學習過的數學知識思考：經常判斷三角形的形狀有直角三角形、等腰三角形與等邊三角形，再結合圖形旋轉的性質很容易發現當EF連接起來以后，根據AE與AF相等、∠1與∠2相等能夠得到∠EAF=∠2+∠3=90°，所以在三角形AEF中，AE=AF，∠∠EAF=90°，這充分說明三角形AEF是一個等腰直角三角形.

2 運用圖形旋轉思想巧妙猜想

在處理數學問題時，進行合理猜想能夠讓題目顯得更有活力與魅力，通過旋轉思想的妙用融入到幾何變式類的問題中，借此凸顯出數學猜想的重要作用.要想培養學生的數學猜想能力，教師需堅持循序漸進的原則，借助一些變式訓練，為學生進行猜想奠定良好基礎，讓他們學會從多個視角分析與解決問題.初中數學教師在解題訓練中，可指導學生運用圖形旋轉思想進行巧妙猜想，把不同的圖形關聯起來，讓他們進行觀察、類比、猜想與驗證.

例2如圖2(1)所示，三角形ABC是一個等腰直角三角形，其中AC=BC，四邊形CDEF是一個正方形，連接BD、AF，(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間的關系，且證明；(2)如果把正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉，使之一邊落在三角形ABC內，請畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，分析題(1)中猜想的結論是否仍然成立？假如成立，直接寫出結論，無需證明，如果不成立，說明理由.

圖2

解析(1)讓通過觀察學生發現圖中隱含著旋轉變換，△ACF繞C點順時針旋轉90°，得到△BCD，由此猜想出AF=BD，且AF⊥BD.這樣的猜想過程能為證明做鋪墊，讓學生順利找到證明兩個三角形全等的條件，得到△ACF≌△BCD，推出AF=BD與∠AFC=∠BDC，再利用∠AFC+∠FGC=90°得到AF⊥BD.(2)圖2(2)是CD邊在△ABC內部時，圖2(3)是CF邊在△ABC內部時，當正方形CDEF繞點C旋轉時，一邊落在△ABC內部，始終有AF=BD數量關系與AF⊥BD的位置關系.

3 采用圖形旋轉思想巧妙轉化

在初中數學解題教學過程中，讓學生“做一做，動一動”思維能夠變得更加活躍，而遇到一些難以處理的幾何圖形類問題時，教師可以指導他們巧妙運用旋轉思想，對題目中的圖形或者圖形的一部分進行旋轉，由此找到解題的突破口.同時，初中數學教師應當提示學生緊緊抓住旋轉后新圖形和原圖形所具備的性質，并依據特殊角的三角函數值、等腰三角形、等邊三角形及正方形的性質等，讓他們學會化繁為簡，使其快速、準確的找到解題方法，

例3如圖3所示，在三角形ABC中，AC與BC的長度一樣，點D是邊AB上的一點，求證：DB2+AD2=2CD2.

圖3

解析處理旋轉類的問題時要抓住兩點：一是旋轉后的圖形與原圖形全等，二是利用好旋轉的角度.具體解答方法如下：學生利用旋轉與轉化的數學思想方法，把△ACD繞點C逆時針旋轉90°，再把ED連接起來，這樣將分散的線段DB、AD與CD整合到兩個直角三角形△BDE和△CDE中，結合勾股定理能夠得到ED2=DB2+BE2=DB2+AD2，繼而得到ED2=CD2+CE2=2CD2.

4 巧用旋轉思想解決角度問題

在初中數學解題教學中，幾何圖形類題目占據著較大的比重，在平常訓練與考試中均較為常見，而計算角度類問題屬于基礎性題型，處理這類題目時，需要結合已知條件把分散的條件進行集中分析與處理.對此，初中數學教師可以引導學生巧妙應用旋轉思想分析和解決角度問題，先對原圖形進行旋轉變化，分析圖形的特殊位置和角度，再結合相關數學公式展開解題，使其把陌生問題轉變成熟悉的問題，把復雜問題變得簡單化，讓他們輕松解題.

例4如圖4(1)所示，點P是等邊三角形ABC內的一點，其中PA的長度是3，PB的長度是4，PC的長度是5，求∠APB的大小.

圖4

解析當學生看到3、4、5在這組數據時，通常會第一時間想到勾股定理，這是直角三角形的三條邊的長度，但是在本題中分散在三角形ABC內部，解題該題的關鍵是想法將這分散的三邊集中到同一個三角形中，通過旋轉轉化實現.具體來說，可以讓三角形APB圍繞點A逆時針旋轉60°后得到三角形ADC，把PD連接起來，如圖4(2)所示，則AD=AP=3，DC=PB=4，∠PAD=60°，所以三角形PAD是一個等邊三角形，則PD=PA=3，在三角形PDC中，PD2+DC2=32+42=52，PC2=52，由此得到∠PDC=90°，則∠APB=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

5 巧用旋轉思想解決長度問題

對初中數學解題教學而言，計算線段長度類問題也十分常見，這類題目從表面上看往往難度不大，但是仔細觀察圖形與分析題目內容以后，發現并不易求解，而且部分題目給出的條件較少，學生極易陷入到困境之中，他們很難快速形成準確的解題思路.因此，初中數學教師在具體的解題訓練中，可以指導學生利用旋轉思想對題目中的圖形展開旋轉與變換，明確旋轉以后角、邊的元素變化情況，使其形成清晰的解題思路，提高解題效率.

例5如圖5(1)所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

圖5

解析經過觀察后發現將三角形BCE圍繞點B順時針旋轉90°，就能夠構成一個正方形，再結合三角形全等的性質確定邊與邊自己的關系.具體解題方法如下：把OA延長，使三角形BCE圍繞點B順時針旋轉90°，同DA的延長線分別相交于點G與點M，如圖5(2)所示，得出一個正方形BCGDG，則BC=BG，又因為∠CBE=∠GBM，所以Rt△BEC≌Rt△BMG，BM=BE，∠ABE=∠ABM=45°，△ABE≌△ABM，AM=AE=10，此時，設CE=x，則AG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x，DE=12-x，那么在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即102=(x+2)2+(12-x)2，化簡后得到x2-10x+24=0，解之得x1=4，x2=6，即為CE的長是4或者6.