關(guān)于“飲馬問(wèn)題”的教學(xué)思考

沈力坤

(福建省詔安縣懷恩中學(xué) 363500)

古希臘亞里山大里亞城里，有一位將軍從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后回到同一河岸邊的B地軍營(yíng)視察，問(wèn)他應(yīng)該怎樣走距離才最短？這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中都稱為“將軍飲馬問(wèn)題”.在北師大版初中數(shù)學(xué)七年下冊(cè)第123頁(yè)第5題有一個(gè)典型的飲馬問(wèn)題：如圖1所示，在一條街道的同側(cè)有A、B為居民區(qū)，某一天小明要從居民區(qū)A出發(fā)，先到街道旁一井邊打水，送到居民區(qū)B.請(qǐng)你幫他確定最短路線?有關(guān)飲馬問(wèn)題的解決關(guān)鍵是找出表示“河流”所在的直線，再找出其中點(diǎn)A或B的對(duì)稱點(diǎn)，屬于動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.我們對(duì)北師大版初中數(shù)學(xué)七年下冊(cè)第123頁(yè)第5題進(jìn)行分析，街道就是“河流”所在的直線，點(diǎn)A關(guān)于“河流”的對(duì)稱點(diǎn)為A′,連結(jié)A′B，交街道于點(diǎn)P，則AP+BP=A′P+BP=A′B.則A′B就是所求的最短線段.

圖1

本題實(shí)質(zhì)上是求“兩點(diǎn)之間線段最短”.它考查的是兩點(diǎn)之間線段最短，是應(yīng)用較為靈活的題型,從最為簡(jiǎn)單的直接考查兩線段之和最小，推廣到以三角形、四邊形、特殊四邊形、圓、一次函數(shù)、二次函數(shù)為背景的相關(guān)題目.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“飲馬問(wèn)題”的題型出現(xiàn)多次，它一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)很難突破的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生遇到這類的題目，往往找不到解決問(wèn)題的突破口，不懂得對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移、應(yīng)用.因此，在教學(xué)中需給學(xué)生貫灌輸一個(gè)思想：求直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的連線段長(zhǎng)度之和的最小值問(wèn)題就是”飲馬問(wèn)題“，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵依據(jù)是：“ 兩點(diǎn)之間線段最短”或是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”.

下面由這一知識(shí)點(diǎn)演繹出來(lái)的相關(guān)題型進(jìn)行歸類，提出自己的見(jiàn)解.

1 把飲馬問(wèn)題這個(gè)模型放在圓中，利用圓的直徑作為“河流”來(lái)創(chuàng)建題目.

例1如圖2，AB是⊙O的直徑，AB=a點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=b,則△MNP周長(zhǎng)的最小值是多少？

圖2

2 把這個(gè)模型放在多邊形中，以三角形或特殊四邊形為背景，利用特殊三角的對(duì)稱軸作為“河流”或特殊四邊形的對(duì)角線為“河流”來(lái)設(shè)計(jì)題目

例3如圖3在正△ABC中，AB=6,AD⊥BC垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別為AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BE+FE的最小值是多少？

圖3

3 把這個(gè)模型放在平面直角坐標(biāo)系中，利用x軸，y軸,拋物線對(duì)稱軸或某一直線為“河流”來(lái)設(shè)計(jì)求最小值的問(wèn)題.

我們?nèi)魧?duì)公式進(jìn)行如下處理

到此我們可以得知：本題目是在x軸上求一點(diǎn)(m,0)到A點(diǎn)(3,1)B(1,3)的距離之和最小，又是一個(gè)飲馬問(wèn)題把x軸當(dāng)成河流，A點(diǎn)(3,1)B(1,3)是河流同側(cè)的兩點(diǎn).如些一轉(zhuǎn)化它是一個(gè)容易題了.具體解法如下：

例5將上題改為：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1，3)、B(3，-1)，若要在x軸上找一點(diǎn)P，使|AP-BP|最大，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少，|AP-BP|最大值是多少？

圖4

例6如圖5.已知A(1,3),B(3,1)，MN=1且MN是x軸上的一動(dòng)線段,則AM+BN的最小值是多少？

圖5

這是一個(gè)相對(duì)隱蔽的飲馬問(wèn)題，因?yàn)檫€是直線同旁的兩條線段之和的問(wèn)題，而飲馬問(wèn)題是在河流上找一點(diǎn)P，這一問(wèn)題是一線段MN，能否將線段轉(zhuǎn)化為點(diǎn)，A點(diǎn)向左(右)平移AA1=MN(使A、B兩點(diǎn)靠近，縮短A、B兩點(diǎn)間的距離)作A1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A2連接則A2B，那么AM+BN=A1N+BN=A2N+BN=A2B.

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.飲馬問(wèn)題在日常生活中經(jīng)常遇到，怎樣節(jié)省材料降低成本需求最小值，這對(duì)于我們構(gòu)建環(huán)境友好型、資源節(jié)約型的美麗中國(guó)有著重要的意義.