關于“飲馬問題”的教學思考

沈力坤

(福建省詔安縣懷恩中學 363500)

古希臘亞里山大里亞城里，有一位將軍從A地出發到河邊飲馬，然后回到同一河岸邊的B地軍營視察，問他應該怎樣走距離才最短？這類問題在數學教學中都稱為“將軍飲馬問題”.在北師大版初中數學七年下冊第123頁第5題有一個典型的飲馬問題：如圖1所示，在一條街道的同側有A、B為居民區，某一天小明要從居民區A出發，先到街道旁一井邊打水，送到居民區B.請你幫他確定最短路線?有關飲馬問題的解決關鍵是找出表示“河流”所在的直線，再找出其中點A或B的對稱點，屬于動態幾何問題.我們對北師大版初中數學七年下冊第123頁第5題進行分析，街道就是“河流”所在的直線，點A關于“河流”的對稱點為A′,連結A′B，交街道于點P，則AP+BP=A′P+BP=A′B.則A′B就是所求的最短線段.

圖1

本題實質上是求“兩點之間線段最短”.它考查的是兩點之間線段最短，是應用較為靈活的題型,從最為簡單的直接考查兩線段之和最小，推廣到以三角形、四邊形、特殊四邊形、圓、一次函數、二次函數為背景的相關題目.初中數學教學中“飲馬問題”的題型出現多次，它一直是初中數學教學一個很難突破的知識點，學生遇到這類的題目，往往找不到解決問題的突破口，不懂得對知識進行遷移、應用.因此，在教學中需給學生貫灌輸一個思想：求直線上一點到直線同側兩點的連線段長度之和的最小值問題就是”飲馬問題“，解決這類問題的關鍵依據是：“ 兩點之間線段最短”或是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”.

下面由這一知識點演繹出來的相關題型進行歸類，提出自己的見解.

1 把飲馬問題這個模型放在圓中，利用圓的直徑作為“河流”來創建題目.

例1如圖2，AB是⊙O的直徑，AB=a點M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=b,則△MNP周長的最小值是多少？

圖2

2 把這個模型放在多邊形中，以三角形或特殊四邊形為背景，利用特殊三角的對稱軸作為“河流”或特殊四邊形的對角線為“河流”來設計題目

例3如圖3在正△ABC中，AB=6,AD⊥BC垂足為點D，點E、F分別為AD、AB上的動點，則BE+FE的最小值是多少？

圖3

3 把這個模型放在平面直角坐標系中，利用x軸，y軸,拋物線對稱軸或某一直線為“河流”來設計求最小值的問題.

我們若對公式進行如下處理

到此我們可以得知：本題目是在x軸上求一點(m,0)到A點(3,1)B(1,3)的距離之和最小，又是一個飲馬問題把x軸當成河流，A點(3,1)B(1,3)是河流同側的兩點.如些一轉化它是一個容易題了.具體解法如下：

例5將上題改為：如圖4，在平面直角坐標系中，已知A(1，3)、B(3，-1)，若要在x軸上找一點P，使|AP-BP|最大，則點P的坐標為多少，|AP-BP|最大值是多少？

圖4

例6如圖5.已知A(1,3),B(3,1)，MN=1且MN是x軸上的一動線段,則AM+BN的最小值是多少？

圖5

這是一個相對隱蔽的飲馬問題，因為還是直線同旁的兩條線段之和的問題，而飲馬問題是在河流上找一點P，這一問題是一線段MN，能否將線段轉化為點，A點向左(右)平移AA1=MN(使A、B兩點靠近，縮短A、B兩點間的距離)作A1關于x軸的對稱點A2連接則A2B，那么AM+BN=A1N+BN=A2N+BN=A2B.

數學來源于生活，我們學習數學的目的是學會應用數學知識解決實際問題.飲馬問題在日常生活中經常遇到，怎樣節省材料降低成本需求最小值，這對于我們構建環境友好型、資源節約型的美麗中國有著重要的意義.