凍融循環作用下水泥土統計損傷模擬方法

蘇艷軍

(中國建筑東北設計研究院有限公司，沈陽 110166)

水泥土是以土、水、水泥和外加劑按比例摻和而成的多相混合體系，廣泛應用于公路工程、地基基礎工程[1-2]。北方季凍區一年四季溫差較大，冬季結冰，夏季融化[3]，公路路基既承受交通荷載，維護公路面層及基層的穩定，又受凍融循環作用影響，易發生翻漿、凍脹導致路面沉陷、裂縫、擁包等病害，威脅車輛行駛安全[4-5]，因此模擬水泥土在凍融循環作用下的力學行為具有十分重要的意義[6]。

中外已有較多水泥土力學行為及本構模型的研究，童小東等[7]引入連續損傷理論，基于塑性功硬化規則構建彈塑性損傷模型；陳四利等[8]開展飽水環境下水泥土單軸壓縮試驗，建立細觀空隙損傷模型；Lee等[9]引入提出黏結應力比，考慮水泥土顆粒間的黏結效應以及粘結隨圍壓和剪應變的退化，建立一種塑性本構模型；張本蛟等[10]引入進行水泥土單軸和三軸壓縮試驗，分析其力學性能隨摻量的變化趨勢，采用Popovics模型擬合試驗數據，取得較好成效；Nguyen等[11]基于臨界狀態土力學，考慮水泥和黏土之間的化學膠結作用，提出一個新的本構模型，并成功辨識摻量10%的水泥土試驗數據；Yapage等[12]將臨界狀態框架、邊界面塑性和動態屈服面概念與Mohr-Coulomb模型相結合，提出一種新的水泥土本構模型；周海龍等[13]以內蒙古黃河灌區粉砂土為主要骨料，以硅酸鹽水泥為膠凝材料，制作水泥土試樣開展單軸抗壓室內試驗，通過研究高徑比及摻量對強度的影響，提出一種強度預測模型。

統計損傷理論在巖土體本構關系模擬中取得較好的效果，在水泥土變形破壞全過程模擬中鮮有報道。考慮到水泥土強度分布的隨機性，假設水泥土受荷微元強度服從某種概率隨機分布無疑是一條創新性途徑。基于此，現開展不同凍融循環次數下的三軸壓縮試驗，根據彈性模量衰減規律定義凍融損傷變量，假設受荷損傷微元強度服從Weibull概率密度分布，得到受荷損傷變量，從水泥土受荷微單元和凍融微單元之間的關系出發，構建凍融、受荷總損傷變量，引入損傷修正因子，建立新的凍融循環作用下的水泥土統計損傷模型。基于試驗成果和線性回歸曲線擬合法，求取模型參數，分析損傷累積規律，并模擬水泥土力學行為。以期為凍融循環作用下水泥土力學行為模擬和季凍區公路路基設計、施工及養護提供一定參考。

1 凍融循環作用下水泥土統計損傷模型

1.1 損傷變量的定義

水泥土作為一種復雜的混合物，內部存在較多的缺陷，在凍融循環及外界荷載的共同作用下，水泥土內部微缺陷不斷發育擴展，凍融循環作用以及外界荷載作用造成的損傷逐漸累積，最終造成水泥土宏觀力學性能的劣化，故需同時考慮凍融循環及外界荷載的損傷劣化效應，構建凍融循環損傷和受荷損傷演化方程。

假設水泥土由N(N→∞)個微單元組成，其中凍融循環和外界荷載作用造成的微單元損傷個數為N1，無損微單元個數為N2，其中N1由凍融損傷微單元Nn和受荷損傷微單元Np組成。故定義凍融、受荷總損傷變量為

(1)

凍融、受荷總損傷變量D∈[0，1]。單獨考慮水泥土微單元個數，將凍融損傷變量Dn理解為凍融循環作用造成的微單元損傷個數與水泥土總體微單元N的比值，受荷損傷變量Dp理解為外界荷載作用造成的微單元損傷個數與水泥土總微單元去除凍融損傷微單元后的比值，于是有

(2)

聯立式(1)、式(2)可得

D=Dn+Dp-DnDp

(3)

式(3)即本文凍融、受荷總損傷的演化方程，這里D不再是單一相加而得，表明凍融、荷載對水泥土造成的損傷是一種相互影響、作用的結果，實質上根據式(3)得到的損傷變量量值小于式(1)。

凍融循環和外界荷載作用在水泥土材料時，由于作用機理的不同，造成的損傷衰減的程度、效果也不同。兩者作用的耦合效應使得水泥土受損部位的損傷程度、效果持續反饋調整，導致水泥土材料力學性能衰減。唯象損傷力學理論[14]認為彈性模量的衰減規律可從一定程度上反映材料損傷劣化，故將水泥土材料在不同循環次數的凍融作用下的彈性模量劣化規律表征凍融損傷變量Dn，即

(4)

式(4)中：E0為未經過凍融作用的彈性模量；En為凍融循環n次后的彈性模量。由于凍融損傷變量Dn僅與E0和En相關，將凍融損傷作用理解為一種隨凍融循環次數變化的持續作用，當達到目標次數時，水泥土材料的凍融損傷變量Dn表現為某一具體量值。

在外界荷載作用下，由于水泥土材料的非均質性，其內部各個微單元受荷存在較大的隨機性，導致材料受荷損傷也是隨機分布，假定水泥土材料受荷損傷微元強度F=f(σ*)服從某種概率密度分布，則受荷損傷變量為

(5)

式(5)中：σ*為有效應力；P為受荷損傷微元強度的某一積分函數。由于水泥土材料在外界荷載作用下持續受荷，受荷期間材料內部微單元隨機分布，故將受荷損傷作用定義為一種隨著應力變化和應變增長而逐漸累積的持續作用。

Weibull分布廣泛應用于材料壽命檢驗，假設受荷損傷微元強度服從Weibull分布，則其概率密度分布函數P(F)為

(6)

式(6)中：m和F0為Weibull分布參數；F為受荷損傷微元強度。

當應力水平加載至Y時，受荷損傷破壞的微單元數目Np為

(7)

Dp=P(Y)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)可得

(9)

式(9)即受荷損傷變量Dp的損傷演化方程。

將式(4)和式(9)同時代入式(3)可得

(10)

式(10)即凍融、受荷總損傷變量D的損傷演化方程。

1.2 統計損傷模型的建立

假設水泥土材料在凍融循環和外界荷載作用下產生各向同性損傷，損傷僅在最大主應力σ1方向累積擴散。在水泥土三軸壓縮試驗中，圍壓σ3=中間主應力σ2，假定無損水泥土材料服從從Hooke定律，于是有

(11)

依據Lemaitrel應變等價性假說[15]，可通過如下形式進行損傷演化，即

(12)

式(12)中:σ*和σ分別為有效應力和表觀應力；E為彈性模量；ε為軸向應變。

通過式(12)對式(11)進行損傷演化，同時考慮到水泥土破壞后存在一個殘余強度，故引入一個損傷修正因子η[16]，由此可得本文所建模型的本構方程為

σ1=Enε1(1-ηD)+2μnσ3

(13)

式(13)中：η為損傷修正因子；μn為凍融循環n次后的泊松比。式(13)即凍融循環作用下水泥土統計損傷模型。

受荷損傷變量Dp與F緊密關聯，考慮到受荷微元強度的可計算性，結合文獻[17]，選取Mises屈服強度準則將受荷損傷微元強度F為

(14)

式(14)中：J2為應力偏量第二不變量。

(15)

再由式(11)、式(12)和式(15)可得

(16)

將式(14)～式(16)代入式(9)可得

(17)

式(17)即受荷損傷變量Dp的損傷演化表達式。

將式(14)～式(16)代入式(10)可得

(18)

式(18)即凍融、受荷總損傷變量D的損傷演化表達式。再將式(18)代入式(13)便可得到本文所建凍融循環作用下水泥土統計損傷模型的本構方程。

2 模型驗證及參數解析

2.1 水泥土凍融循環試驗

本次試驗背景為某高速內蒙古境內段，試驗所用土樣取自內蒙古呼和浩特地區，土樣介于1～2 mm、1～0.5 mm、0.5～0.25 mm、0.25～0.75 mm及小于0.75 mm的顆粒質量分數分別為1.53%、11.76%、26.59%、33.75%和26.37%。土樣基本物理性質指標如表1所示。

表1 土樣基本物理性質指標

本次試驗使用內蒙古天皓水泥集團有限公司生產的32.5級礦渣硅酸鹽水泥，初凝、終凝時間分別為150 min和250 min。水泥摻量為水泥質量和干土質量的百分比，本次試驗選取6%和10%兩種水泥摻量。水泥土材料的最大干密度、最佳含水率與摻量的關系曲線如圖1所示。水泥與土相互作用，發生膠結和化學反應，細小顆粒凝聚成較大團狀體，水泥土材料的最大干密度相比原狀土降低，最佳含水率相比原狀土升高。

圖1 最大干密度、最佳含水率與摻量的關系曲線

根據最佳含水率加水攪拌燜料，時間不少于12 h，然后分別加入摻量6%和10%的水泥繼續均勻攪拌。以靜壓法制備95%壓實度的試件，試件規格為直徑40 mm、高80 mm的圓柱體，保鮮膜密封后養生28 d。水泥土養生結束后，進行循環凍融，以-18 ℃的凍結溫度在低溫恒溫箱內養生12 h，再在20 ℃恒溫水中養生12 h，如此24 h的養生周期為1次凍融循環。將凍融循環次數設定為0、5、10、20、50次，達到目標凍融循環次數后，先取出部分試樣，其余試驗繼續凍融循環，直至達到下一目標次數。

采用CSS-2901TS型土體三軸流變試驗機進行三軸壓縮試驗，圍壓設定為0.5 MPa，剪切速度為0.05 mm/min，試驗數據采集系統對每0.5 mm的位移計數1次，直至讀數達到峰值。水泥摻量6%和10%下不同凍融循環次數的水泥土三軸壓縮試驗結果如圖2所示。

圖2 不同凍融循環次數的水泥土偏應力-應變曲線

由圖2可看出，水泥土三軸抗壓強度隨著凍融循環次數的增加而遞減，取偏應力-應變曲線的近似直線段的斜率作為彈性模量，發現水泥土彈性模量也隨著凍融循環次數的增加而遞減。

總體上，水泥摻量的增加促進水泥土抗壓強度的增強。在摻量6%和10%的情況下，凍融循環50次的三軸抗壓強度分別為未經歷凍融循環的32.73%和38.25%，這說明凍融循環作用能大幅削弱水泥土材料的抗壓強度，在季凍區水泥土路基設計、施工和后期養護中不可忽視凍融循環作用的影響。

2.2 模型參數求解

2.2.1 參數E0、En和μn和η

曹瑞瑯等[16]利用統計損傷模型辨識巖土體材料三軸壓縮試驗數據時，考慮到殘余強度使得材料破壞后仍有一定的承載能力，將損傷修正因子η定義為

(19)

式(19)中：σr為殘余強度；σ1c為三軸抗壓強度。水泥土材料變形破壞全過程與巖土體類似，皆存在抗壓強度和殘余強度，故采用式(19)作為水泥土損傷修正因子，基于試驗結果求取。

參數E0、En和μn分別為未經過凍融的水泥土彈性模量、凍融循環n次的彈性模量和泊松比，根據水泥土凍融循環試驗可以確定，參數E0、En、μn和η如表2所示。

由表2可看出，水泥土彈性模量隨著凍融循環次數的增加而遞減，泊松比隨著凍融循環次數的增加而遞增。

表2 E0、En、μn和η

在同樣凍融循環次數下，隨著水泥摻量的增加，彈性模量遞增，泊松比遞減。E0為未經過凍融作用的初始彈性模量，水泥摻量6%和10%的E0分別為230.970 MPa和297.654 MPa。

2.2.2 參數m和F0

將式(10)代入式(13)變形可得

(20)

對式(20)等號兩邊同時取對數可得

(21)

繼續對式(21)等號兩邊同時取對數可得

=mlnF-mlnF0

(22)

式(22)可變形為

Y=mX+A

(23)

式(20)～式(23)即線性回歸曲線擬合解析方法，由此可得到參數m、F0，如表3所示。

表3 模型參數m和F0

由表3可看出，凍融循環次數的增加，參數m和F0大致呈遞減趨勢。

2.3 損傷分析

2.3.1 凍融損傷分析

將表2中的參數代入式(4)，計算凍融損傷變量Dn，繪制Dn與凍融循環次數的關系曲線，如圖3所示。

由圖3可看出，隨著凍融循環次數的增加，凍融損傷變量Dn不斷增大，凍融損傷作用持續加深。凍融循環次數在0～10次范圍內，Dn累積較快，當其超過10次以后，Dn累積速度放緩，這說明凍融作用顯著影響水泥土材料內部微缺陷發育擴展，當凍融作用達到一定程度時，材料內部微缺陷發育速度逐漸趨于平穩。在同一凍融循環次數下，高摻量的凍融損傷變量值略低于低摻量，這說明水泥摻量的增大可能會抑制凍融損傷的發展。

圖3 Dn與凍融循環次數的關系曲線

2.3.2 受荷損傷分析

將表2和表3中參數及試驗數據代入式(10)，可得到受荷損傷變量Dp的累積發展曲線，如圖4所示。

圖4 受荷損傷累積曲線

由圖4可看出，受荷損傷累積曲線由兩部分組成，首先是快速累積的階段，該階段內受荷損傷急劇累積，在同一應變下，隨著凍融循環次數的增加，受荷損傷累積曲線斜率遞增，較高凍融循環次數的受荷損傷量始終大于低凍融循環次數，這說明凍融循環作用的增強促進受荷損傷的累積發展。當受荷損傷累積到一定程度時，受荷損傷累積曲線逐漸減小，最終受荷損傷變量趨于1。

2.3.3 凍融、受荷總損傷分析

將表2和表3中參數及試驗數據代入式(18)，可得到凍融、受荷總損傷累積曲線，如圖5所示。

圖5 凍融、受荷總損傷累積曲線

由圖5可看出，水泥土在不同凍融循環次數下，凍融、受荷總損傷變量的起始值不同，凍融循環次數越高，該起始值越大。首先是水泥土試樣經過不同循環次數的凍融作用，該過程中水泥土試樣的凍融損傷隨循環次數的增加而不斷累積。試樣達到目標凍融循環次數后，再進行三軸壓縮試驗，壓縮過程中受荷損傷在凍融損傷的基礎上持續累積發展，受荷損傷與凍融損傷發生耦合作用。

總體上，隨著凍融循環次數的增加，Dn、Dp和D均逐漸遞增，直至趨于穩定。凍融循環作用促進水泥土材料的受荷和凍融損傷發育。

2.4 模型驗證

為驗證水泥土統計損傷模擬方法的可行性，將表2和表3中的模型參數代入式(13)，計算得到模型預測值，繪制預測值和試驗值對比曲線，如圖6所示。

由圖6可看出，預測值與試驗值吻合較好，擬合精度較高，盡管預測值在應變2%～6%范圍內略高于試驗值，但整體上誤差較小，能較為準確地辨識不同凍融循環次數下的水泥土材料變形破壞全過程曲線，證明所建模型的可行性和合理性。

圖6 預測值和試驗值對比曲線

3 結論

(1)根據彈性模量衰減規律定義凍融損傷變量，假設受荷損傷微元強度服從Weibull概率密度分布，建立受荷損傷變量，從水泥土受荷微單元和凍融微單元之間的關系出發，構建凍融、受荷總損傷變量。

(2)基于試驗成果和線性回歸曲線擬合法，求取模型參數。分析凍融損傷變量Dn、受荷損傷變量Dp及凍融、受荷總損傷變量D隨凍融循環次數的變化規律，隨著凍融循環次數的增加，Dn、Dp和D均逐漸遞增，直至趨于穩定。凍融循環作用促進水泥土材料的受荷和凍融損傷發育。

(3)基于凍融、受荷總損傷變量，引入損傷修正因子，構建新的凍融循環作用下的水泥土統計損傷模型，辨識本文水泥土試驗數據，預測值和試驗值曲線吻合良好，驗證所建模型的可行性和合理性。