熱環(huán)境下圓弧拱的面內(nèi)非線性屈曲

李學(xué)松，劉愛榮，招啟嵩，劉璐璐

(1.東莞濱海灣新區(qū)工程建設(shè)中心，東莞 523808；2.廣州大學(xué)風(fēng)工程與工程振動研究中心，廣州 510006)

在實際工程中，拱結(jié)構(gòu)不僅會受到外荷載的作用，還會受到環(huán)境溫度變化的影響。如在太陽照射和火災(zāi)作用下拱截面溫度會產(chǎn)生變化，當(dāng)由于溫度變化引起的膨脹受到約束時，拱結(jié)構(gòu)內(nèi)部便會產(chǎn)生較大內(nèi)力，從而影響拱的屈曲行為，給結(jié)構(gòu)的安全運營帶來潛在危害。因此，研究拱在熱環(huán)境中的屈曲行為意義重大。

目前，已有許多學(xué)者針對熱環(huán)境下梁的屈曲問題開展了深入研究。Bradford[1]研究了約束梁在室內(nèi)火災(zāi)下的力學(xué)行為；Pi等[2]對在梯度溫度下雙對稱開口薄壁截面固定梁的面外彈性屈曲行為進行了研究; Pi等[3]還在考慮結(jié)構(gòu)材料和幾何形狀變化的情況下，推導(dǎo)了固定細(xì)長梁平面內(nèi)熱彈性屈曲的上、下限臨界溫度。之后，Pi等[4]研究了在梯度溫度下兩端彈性約束梁的熱彈性面外屈曲問題，得到了其面外屈曲臨界溫度的解析解。蘇盛開等[5]采用經(jīng)典歐拉梁理論和高階三角剪切變形理論，研究了多孔功能梯度梁的熱力耦合屈曲，利用迭代算法求解了結(jié)構(gòu)的熱力耦合屈曲臨界溫度。何昊南等[6]在考慮熱對材料物性參數(shù)影響的情況下，研究了功能梯度梁的熱后屈曲問題。于旭光等[7]基于高階剪切變形理論，推導(dǎo)了軸向荷載與均勻熱荷載作用下梁的熱屈曲和后屈曲問題。

關(guān)于拱在外力荷載下的屈曲問題已有許多學(xué)者開展了豐富的研究，如楊智誠等[8]針對功能梯度多層石墨烯增強納米復(fù)合材料圓弧拱的參數(shù)失穩(wěn)問題, 采用Bolotin 方法求解 Mathieu-Hill 方程，獲得了拱的主動力不穩(wěn)定區(qū)域；文獻(xiàn)[9-10]先后分別研究了單軸對稱截面圓弧拱在局部徑向均布荷載和拱頂集中力荷載下的彎扭穩(wěn)定性；Zhang等[11]研究了復(fù)合材料圓弧拱在均布荷載下的面內(nèi)非線性穩(wěn)定；Li[12]針對功能梯度多孔圓弧拱的非線性穩(wěn)定性進行了分析。

關(guān)于拱在熱效應(yīng)下屈曲行為的研究有，如Pi等[13]分析了純均勻溫度場下的鉸接和固接圓弧拱的平面內(nèi)熱彈性屈曲行為；之后，Pi等[14]又開展了在均勻溫度場和均布荷載作用下圓弧拱的平面內(nèi)非線性彈性屈曲分析；Bradford[15]研究了大跨度淺鋼拱在火災(zāi)時的熱彈性行為；Bradford[16]還研究了在熱荷載下，具有橫向彈簧約束拱在彈性范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。梯度溫度場下，Pi等[17]針對鉸接圓弧淺拱的非線性熱彈性屈曲行為進行了研究；宋小春等[18]在考慮剪切變形的影響下，對梯度溫度作用下彈性約束圓弧拱的力學(xué)行為開展了研究。此外，Lu等[19]研究了均勻溫度場和任意徑向集中力共同作用下圓弧拱的平面外穩(wěn)定性問題，得到了屈曲臨界溫差和臨界荷載。Liu等[20]分析了梯度溫度場和拱頂徑向集中力下圓弧拱的平面外屈曲行為，得到了拱在梯度溫度場下的彎扭屈曲荷載理論解。

綜上，目前關(guān)于集中力作用下圓弧拱的面內(nèi)非線性熱屈曲問題還未有學(xué)者開展過相關(guān)的理論研究。經(jīng)過前人的研究發(fā)現(xiàn)，溫度的升高確實會影響拱的非線性平衡路徑，所以當(dāng)拱受到拱頂集中力和溫度的共同作用時，其內(nèi)部產(chǎn)生內(nèi)力將會更復(fù)雜，從而直接影響拱的非線性屈曲行為。所以迫切需要探究集中力作用下圓弧拱的面內(nèi)非線性熱屈曲行為，為相關(guān)工程設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

基于此，現(xiàn)對熱環(huán)境下，兩端固接圓弧拱在拱頂徑向力作用下的平面內(nèi)非線性熱屈曲開展研究，建立其面內(nèi)非線性屈曲平衡微分方程，求解其在不同溫度下極值點屈曲和分岔屈曲荷載解析解，揭示溫度和長細(xì)比等因素對拱非線性屈曲行為的影響規(guī)律。

1 面內(nèi)非線性分析

1.1 基本假設(shè)

對圓弧拱進行穩(wěn)定性分析前，引入了以下假設(shè)。

(1)拱在整個受力過程中處于彈性狀態(tài)，并且滿足歐拉-伯努利假設(shè)。

(2)假定溫度T與時間無關(guān)，且在整個拱截面上均勻分布，環(huán)境溫度假定為20 ℃。

(3)假定熱膨脹系數(shù)α與溫度T無關(guān)，且取值為α=11.3×10-6/℃。

(4)假定拱的橫截面尺寸遠(yuǎn)小于其弧長和半徑。

(5)E(T)為在溫度T下鋼材的彈性模量，根據(jù)鋼結(jié)構(gòu)經(jīng)驗公式[14]有

(1)

式(1)中：E20為在環(huán)境溫度20 ℃下鋼的彈性模量。

兩端固接圓弧拱的力學(xué)簡圖如圖1所示。

S為圓弧拱的弧長；R為圓弧拱的半徑；L為圓弧拱的跨徑；Θ為圓弧拱的半圓心角；θ為圓弧拱的角坐標(biāo)；v和w分別為拱軸線的徑向和軸向位移；Q為拱頂徑向集中力；ΔT為均勻溫升

1.2 非線性平衡

拱截面上的任意一點的軸向應(yīng)變ε可表示為膜應(yīng)變εm和彎曲應(yīng)變εb之和，即

(2)

基于Duhamel-Neumann方程，由荷載Q和均勻溫升ΔT產(chǎn)生的應(yīng)力可以表示為

σ=E(T)(ε-αΔT)

(3)

熱環(huán)境下，拱頂徑向力作用下拱的總勢能為

(4)

狄拉克函數(shù)定義為

(5)

將式(2)代入式(4)，則拱的總勢能表達(dá)式(4)可重新表示為

(6)

式(6)中：A為拱橫截面的面積；E為材料彈性模量；Ix為截面繞x軸的慣性矩。

拱的平衡狀態(tài)要求拱總勢能的一階變分為零，則對式(6)求變分可得

(7)

軸力N和彎矩M可表示為

(8)

(9)

對式(7)進行分部積分可得

N′=0

(10)

NR+(NRν′)′-M″-δD(θ)QR=0

(11)

由式(10)可知，拱的軸向力N為常數(shù)。因此，式(11)可以重新化簡為

(12)

(13)

此外，拱的固接邊界條件要求，在θ=±Θ時，有

(14)

求解式(12)并滿足式(14)可得到無量綱徑向位移為

(15)

式(15)表明徑向位移是關(guān)于無量綱荷載P、軸力參數(shù)μ和β的函數(shù)。其中：

β=μΘ

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(15)代入式(8)，并沿整個圓弧拱進行積分，可得無量綱荷載P和軸力參數(shù)β之間的關(guān)系為

B1P2+B2P+B3=0

(20)

系數(shù)B1、B2和B3由式(21)～式(23)給出：

(21)

(22)

(23)

式(23)中：λ為拱的修正長細(xì)比，定義為

(24)

2 屈曲分析

2.1 極值點屈曲

荷載軸力平衡路徑上的極值點可以通過式(20)P和β的隱式方程求得，即

(25)

由此可得到屈曲極值點Pst與β之間的關(guān)系方程為

C1Pst2+C2Pst+C3=0

(26)

式(26)中：系數(shù)C1、C2和C3為

(27)

(28)

(29)

2.2 分岔屈曲

除了極值點屈曲外，拱在集中力和溫度的共同作用下還可能發(fā)生分岔屈曲。發(fā)生分岔屈曲時，隨遇平衡下的能量守恒要求拱的總勢能的二次變分等于0，即

δ2Π=0

(30)

ε′mb=0

(31)

(32)

拱的固接邊界條件要求，在θ=±Θ時：

(33)

(34)

在分岔屈曲過程中，由溫度和荷載產(chǎn)生的軸力和彎矩保持不變，即Nb=δN=0。所以，應(yīng)變?yōu)?/p>

(35)

式(32)便化簡為

(36)

求解微分方程[式(36)]得到拱發(fā)生分岔屈曲時的徑向位移為

(37)

式(37)中：f1～f4為常數(shù)，可由邊界條件確定。

將式(37)代入式(34)可得矩陣方程為

(38)

為獲得f1、f2、f3和f4的解，令式(38)的系數(shù)行列式等于零，可得

[μΘcos(μΘ)-sin(μΘ)]sin(μΘ)=0

(39)

求解方程式(39)可得

μΘ≈1.430 3π

(40)

由式(13)、式(16)和式(40)，可得發(fā)生反對稱分岔屈曲時軸力N為

(41)

把μΘ≈1.430 3π代入式(20)可得發(fā)生分岔屈曲時的非線性平衡方程為

D1Pb2+D2Pb+D3=0

(42)

式(42)中：

(43)

求解式(42)，得到分岔屈曲荷載值為

(44)

把Pb和β代入式(15)，可得分岔屈曲時拱頂?shù)膹较蛭灰茷?/p>

(45)

要使得荷載Pb存在，式(44)中的根號內(nèi)的數(shù)值需滿足：

(46)

因此，對于發(fā)生分岔屈曲時拱的幾何參數(shù)：

(47)

要使得λsb1成立，式(47)中的根號內(nèi)的數(shù)值不得小于0，因此有

(48)

3 參數(shù)分析

3.1 極值點屈曲分析

在不同溫升ΔT=0 ℃，ΔT=200 ℃和ΔT=400 ℃下，拱的無量綱荷載Q/NE2隨無量綱拱頂徑向位移vc/f的變化如圖2(a)所示，隨無量綱軸力N/NE2的變化如圖2(b)所示。

由圖2(a)可知，在恒定溫度下，拱的非線性平衡路徑由ab、bc、cd三段路徑組成，首先位移沿著路徑ab隨著荷載的增大而增大，當(dāng)?shù)竭_(dá)上極值點b后拱屈曲，無法繼續(xù)承載，此時若采用位移加載，隨著拱頂位移的變大，荷載將沿著路徑bc逐漸減小，當(dāng)減至下極值點c時，拱又具備了承載能力，荷載將沿著路徑cd隨位移的增加而再次增大。圖2(a)還表明，拱的上極值點隨著溫度升高而升高，即拱的屈曲臨界荷載隨著溫度升高而增大，說明拱由溫度升高產(chǎn)生的變形與荷載產(chǎn)生的變形方向相反。上述分析表明溫度對拱的非線性屈曲行為具有明顯的影響。

由圖2(b)可知，屈曲前，拱的軸力沿著路徑ab，先隨著外荷載的增加而增加，到達(dá)上極值點b后發(fā)生屈曲，在位移加載情況下，軸力沿路徑bc隨荷載的減小而繼續(xù)增大，達(dá)到最大值后，才隨荷載的減小而減小，到達(dá)下極值點c時，拱重新具備承載能力，但軸力沿路徑cd隨著荷載的增加仍持續(xù)減小。圖2(b)表明隨溫度的升高，a點處的初始軸力為負(fù)值，即出現(xiàn)了拉力，且隨著溫度的升高而增大；圖2(b)還表明，軸力的最大值隨著溫度的升高而增大；以上分析說明溫度對拱的軸力也有顯著的影響。

abcd為拱的非線性平衡路徑

當(dāng)ΔT=200 ℃，在不同修正長細(xì)比λ=20、λ=25、λ=30時無量綱載荷Q/NE2隨無量綱拱頂徑向位移vc/f的變化曲線如圖3(a)所示，無量綱載荷Q/NE2隨無量綱軸向N/NE2的變化曲線如圖3(b)所示。由圖3可知，在某一溫度下，拱的上下極值點屈曲臨界荷載隨長細(xì)比的增大而增大。圖3(b)還表明軸力的最大值隨修正長細(xì)比的增大而增大。

abcd為拱的非線性平衡路徑

圖4為不同修正長細(xì)比下無量綱上極值點荷載Pst/NE2隨溫度變化的曲線。圖4也表明，對于不同長細(xì)比的拱，其上極值點荷載隨溫度的升高而增大。

圖4 無量綱上極值點荷載與溫度曲線

圖5為不同溫度下無量綱上極值點荷載Pst/NE2隨修正長細(xì)比變化的曲線。由圖5可知，當(dāng)修正長細(xì)比λ<30時，拱的上極值點屈曲荷載隨長細(xì)比的增大而急劇增大；當(dāng)30<λ<60時，極值點屈曲荷載隨長細(xì)比的增大趨于平緩。另外，隨著修正長細(xì)比的增加，溫度對上極值點屈曲的影響逐漸減小。

圖5 無量綱上極值點與修正長細(xì)比曲線

3.2 分岔屈曲分析

圖6和圖7分別表示了在λ=50、ΔT=0 ℃和λ=40、ΔT=100 ℃下，拱的非線性極值點和分岔屈曲行為。在圖6(a)和圖7(a)中，拱從主要平衡路徑abe進入二次分岔平衡路徑ef，此時荷載隨位移的增大而減小，隨后再次回到主要平衡路徑fcd。在圖6(b)和圖7(b)中，軸力沿著主要平衡路徑abe進入二次分岔平衡路徑ef，軸力在路徑ef保持不變, 然后回到主平衡路徑fcd上。由圖6和圖7可知，虛線即分岔屈曲平衡路徑的不穩(wěn)定部分，且上極值點荷載高于相應(yīng)的上分岔點屈曲荷載，下極值點荷載低于相應(yīng)的下分岔點荷載。

圖6 ΔT=0 ℃時拱的非線性極值點和分岔屈曲

abcd為拱的非線性平衡路徑

圖8 分岔屈曲最高溫差與長細(xì)比曲線

在不同長細(xì)比下，無量綱分岔點荷載Pb/NE2隨溫度變化的曲線如圖9所示。由圖9可知，拱的分岔屈曲荷載隨溫度增量的增大而增大，且拱的修正長細(xì)比對其分岔屈曲行為影響明顯。

圖9 無量綱分岔點荷載與溫度曲線

4 有限元驗證

為驗證本文所推導(dǎo)的理論解的準(zhǔn)確性，采用ANSYS軟件對圓弧拱在熱環(huán)境和拱頂集中力作用下的非線性屈曲進行數(shù)值分析。選用beam3單元建立圓弧拱，收斂性分析表明劃分為100個單元就可以得到收斂的結(jié)果。矩形截面尺寸：b=0.025 m，h=0.001 5 m。

圖10繪制了無量綱荷載Q/NE2隨徑向位移vc/f變化的理論解與有限元結(jié)果的對比。拱的相關(guān)參數(shù)已在圖中列出。從圖10可知，本文推導(dǎo)得到的荷載-位移曲線與ANSYS的分析結(jié)果吻合良好，證明了本文的理論推導(dǎo)是正確的。

圖10 無量綱荷載理論與ANSYS結(jié)果的比較

圖11繪制了無量綱上極值點荷載隨內(nèi)角2Θ變化的理論解與有限元結(jié)果的對比。由圖11(a)可知，在S/rx=100，ΔT=0 ℃時，淺拱(2Θ<60°)的上極值點荷載理論解與ANSYS結(jié)果吻合良好，但隨著2Θ的繼續(xù)增大，ANSYS結(jié)果稍大于理論解。由圖11(b)可知，在S/rx=100，ΔT=100 ℃時，淺拱的上極值點荷載理論解與有限元結(jié)果吻合良好，然后隨著2Θ的增大，有限元結(jié)果也稍微比理論解大。此分析說明本文所推導(dǎo)的理論結(jié)果對圓弧淺拱更加適用。

圖11 無量綱上極值點荷載理論與ANSYS結(jié)果的比較

5 結(jié)論

研究了熱環(huán)境下，圓弧拱在拱頂徑向集中力下的面內(nèi)非線性屈曲行為，獲得了非線性平衡路徑曲線以及極值點屈曲和分岔屈曲理論解，采用ANSYS有限元軟件驗證了理論解的正確性。得到以下結(jié)論。

(1)拱的上極值點隨著溫度升高而增大，即拱的屈曲臨界荷載隨著溫度升高而增大；而拱的下極值點隨著溫度升高而減小。

(2)在某一溫度場下，拱的上下極值點屈曲荷載隨長細(xì)比的增大而增大，軸力的最大值隨修正長細(xì)比的增大而增大。

(3)分岔屈曲的最大溫差隨著長細(xì)比的增加而急速減小，當(dāng)溫度大于該溫差時，淺拱不會發(fā)生非線性分岔屈曲。

(4)本文所推導(dǎo)的理論解只適用于淺拱，對于深拱(2Θ>90°)，理論解稍小于有限元結(jié)果。