從一題多解看空間距離的求法

摘要：空間距離是立體幾何的重要內容，是高考的熱點，也是教學的難點，它包括兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、平行線間的距離、異面直線間的距離、直線到平面的距離和平行平面間的距離等.本文試圖通過探究一道優秀高考試題的不同解法，讓學生領會解題思路，領悟數學思想方法，領略數學文化的魅力.

關鍵詞：等體積法;等面積法;空間距離;向量法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0072-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

題目（2013年北京卷理14）如圖1，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為.

解法1（定義法）點P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

如圖2，過點E作EE1∥CC1交B1C1于點E1，連接D1E1，過點C1作C1F⊥D1E1，垂足為點F，過點F作FP0∥E1E交D1E于點P0，則B1E1 =E1C1，P0F∥CC1.圖2

在C1C上取點Q，使得C1Q=FP0.

連接P0Q，則四邊形P0QC1F為平行四邊形.

因為CC1⊥平面A1B1C1D1，C1F平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F，四邊形P0QC1F為矩形.

所以P0Q⊥CC1， P0Q⊥PF.

因為P0Q∥FC1，所以P0Q⊥D1E1.

又D1E1∩P0F=F，D1E1，P0F平面D1EE1，

所以P0Q⊥平面D1EE1.

所以P0Q⊥D1E.

即P0Q為異面直線D1E和CC1的公垂線.

在Rt△C1D1E1中，由

C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得

C1F=C1D1·C1E1D1E1=2×122+12=255.

所以P0Q=C1F=255.

即點P到直線CC1的距離的最小值為255.

解法2（等體積法）點P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.圖3

如圖3，過點E作EE1∥CC1交B1C1于點E1，連接D1E1，則B1E1 =E1C1.

因為EE1平面D1EE1，CC1平面D1EE1，

所以CC1∥平面D1EE1.

所以異面直線D1E與CC1間的距離就是直線CC1到平面D1EE1的距離，就是點C1到平面D1EE1的距離.

設點C1到平面D1EE1的距離為d，

因為VC1-D1EE1=VE-C1D1E1，

所以13S△D1EE1·d=13S△C1D1E1·EE1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1，

所以EE1⊥平面A1B1C1D1.

又D1E1平面A1B1C1D1，所以EE1⊥D1E1.

所以S△D1EE1=12EE1·D1E1=5.

又S△C1D1E1=1，EE1=2，

所以d=S△C1D1E1·EE1S△D1EE1=1×25=255.

故點P到直線CC1的距離的最小值為255.

解法3（等面積法）如圖4，過點E作EE1∥CC1交B1C1于點E1，連接D1E1，過點P作PF∥EE1交D1E1于點F，連接C1F，則B1E1 =E1C1，PF∥CC1.

因為CC1⊥平面A1B1C1D1，C1F平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F.

所以C1F的長就是點P到CC1的距離.

因為點P在線段D1E上運動，所以點F在線段D1E1上運動，當C1F⊥D1E1時，C1F取得最小值.

在Rt△C1D1E1中，由

C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得

C1F=C1D1·C1E1D1E1=2×122+12=255.

故點P到直線CC1的距離的最小值為255.

解法4（向量法）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系，則C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0）.圖5

從而CC1=（0，0，2），CD1=（0，-2，2），D1E=（1，2，-2）.

設D1P=λD1E=（λ，2λ，-2λ）（0≤λ≤1），

則CP=CD1+D1P=（λ，2λ-2，2-2λ）.

所以點P到直線CC1的距離

d=|CP|2-CP·CC1CC12

=λ2+（2λ-2）2+（2-2λ）2-2（2-2λ）22

=5（λ-45）2+45.

所以當λ=45時，點P到直線CC1的距離的最小值為255.解法5（向量法）建立空間直角坐標系同解法4，則D（0，0，0），D1（0，0，2），E（1，2，0）.

從而DD1=（0，0，2），D1E=（1，2，-2）.

設D1P=λD1E=（λ，2λ，-2λ）（0≤λ≤1），

則DP=DD1+D1P=（λ，2λ，2-2λ）.

所以P（λ，2λ，2-2λ）.

又設點P在CC1上的投影為點Q，

則Q（0，2，2-2λ）.

所以PQ=λ2+（2λ-2）2

=5（λ-45）2+45.

所以當λ=45時，PQ取最小值255.

即點P到直線CC1的距離的最小值為255.

解法6（向量法）建立空間直角坐標系同解法4，則C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0）.

從而CC1=（0，0，2），D1E=（1，2，-2），EC=（-1，0，0）.

設n=（x，y，z）是異面直線CC1與D1E公垂線的方向向量，則n⊥CC1且n⊥D1E.

所以n·CC1=2z=0，n·D1E=x+2y-2z=0，

解得z=0，y=-12x.

取x=2，則y=-1.

所以n=（2，-1，0）.

所以異面直線CC1與D1E間的距離為

d=|EC·n|n

=|-1×2+0×（-1）+0×0|22+（-1）2+02

=255.

即點P到直線CC1的距離的最小值為255.

點評本題主要考查空間距離的求法，正方體的基本結構特征，以及空間線線、線面、面面平行和垂直的判定和性質等，體現了邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養.解題關鍵是熟練掌握各種距離之間的轉化方法，屬于中檔題.

在上述六種解法中，前三種解法是純幾何方法，其中解法1把問題轉化為求異面直線間的距離，利用定義法來解;解法2把問題轉化為求點到平面的距離，利用等體積法來解;解法3把問題轉化為點到直線的距離，利用等面積法來解.后三種解法是向量方法，通過建立空間直角坐標系，以向量為工具把幾何問題轉化為代數問題，這三種方法分別應用了點到直線的距離公式、兩點間的距離公式和異面直線間的距離公式.

可以看出，空間距離的求法雖然很多，如定義法、轉化法、等積法和向量法等，但始終滲透著數形結合思想和轉化與化歸思想.解題時應根據題設條件，靈活選擇解法，優化解題過程.

參考文獻：

[1]?安全.空間距離問題求解方法賞析[J].高中數學教與學，2017（08）：48-49.

[2] 孫兆忠.用空間向量速解空間距離與角[J].理科考試研究，2013，20（05）：17-18.

[責任編輯：李璟]